第九章二次型
§9.1 習題
1．證明，乙個非奇異的對稱矩陣必與它的逆矩陣合同．
2．對下列每一矩陣a，分別求一可逆矩陣p，使是對角形式：
(i)(ii)
(iii)
3．寫出二次型的矩陣，並將這個二次型化為乙個與它等價的二次型，使後者只含變數的平方項．
4．令a是數域f上乙個n階斜對稱矩陣，即滿足條件．
(i)a必與如下形式的乙個矩陣合同：
(ii) 斜對稱矩陣的秩一定是偶數．
(iii) f上兩個n階斜對稱矩陣合同的充要條件是它們有相同的秩．
§9.2 複數域和實數域上的二次型
1．設s是複數域上乙個n階對稱矩陣．證明，存在複數域上乙個矩陣a，使得
．2．證明，任何乙個n階可逆復對稱矩陣必定合同於以下形式的矩陣之一：
3．證明，任何乙個n階可逆實對稱矩陣必與以下形式的矩陣之一合同：
4．證明，乙個實二次型可以分解成兩個實係數n元一次齊次多項式的乘積的充分且必要條件是：或者q的秩等於1，或者q的秩等於2並且符號差等於0．
5．令證明a與b在實數域上合同，並且求一可逆實矩陣p，使得．
6．確定實二次型的秩和符號差．
7．確定實二次型的秩和符號差．
8．證明，實二次型的秩和符號差與無關．
§9.3 正定二次型
1．判斷下列實二次型是不是正定的:
;2．取什麼值時,實二次型
是正定的.
3．設a是乙個實對稱矩陣.如果以a為矩陣的實二次型是正定的,那麼就說a是正定的.證明,對於任意實對稱矩陣a,總存在足夠大的實數,使得是正定的.
4．證明,階實對稱矩陣是正定的,必要且只要對於任意,階子式
5．設是乙個階正定實對稱矩陣.證明
當且僅當a是對角形矩陣時,等號成立.
[提示:對作數學歸納法,利用定理9.3.2的證明及習題4.]
6．設是任意階實矩陣.證明
(阿達馬不等式).
[提示:當時,先證明是正定對稱矩陣,再利用習題5.]
§9.4 主軸問題
1．對於下列每一矩陣a,求乙個正交矩陣u,使得具有對角形式:;;
2．設a是乙個正定對稱矩陣.證明:存在乙個正定對稱矩陣s使得
．3．設a是乙個階可逆實矩陣.證明,存在乙個正定對稱矩陣s和乙個正交矩陣u,使得．
[提示:是正定對稱矩陣.於是由習題2存在正定矩陣s,使得=.再看一下u應該怎樣取．]
4．設是一組兩兩可交換的階實對稱矩陣.證明,存在乙個階正交矩陣u,使得都是對角形矩陣.
[提示:對作數學歸納法,並且參考7.6,習題9.]
求逆矩陣的方法
求逆矩陣的方法與矩陣的秩 一 矩陣的初等行變換 由定理2.4給出的求逆矩陣的伴隨矩陣法，要求計算矩陣a的行列式值和它的伴隨矩陣.當a的階數較高時，它的計算量是很大的，因此用伴隨矩陣法求逆矩陣是不方便的.下面介紹利用矩陣初等行變換求逆矩陣的方法.在介紹這種方法之前，先給出矩陣初等行變換的定義.定義2....
逆矩陣的概念學案
2.4.1逆矩陣的概念 學習目標 1.理解逆變換和逆矩陣的概念,能用幾何變換的觀點判斷乙個矩陣是否存在逆矩陣.2.掌握求矩陣的逆矩陣的方法.3.掌握ab可逆的條件及 ab 1 的求法,理解矩陣乘法滿足消去解的條件 學習重點 逆變換和逆矩陣的概念 學習難點 求矩陣的逆矩陣 學習過程 一 問題情境 已知...
第七章矩陣的廣義逆
若矩陣可逆，則方程組有解，且其解為。一般情況下，方程組有解嗎？且其解為何？廣義逆及其性質 定義設，若存在滿足 1 2 3 4 則稱為的廣義逆，記。以上定義是由penrose提出，故上述四個方程稱為penrose方程。滿足這四個方程的也稱為的moore penrose逆。若存在，則 定理1.1 設，則...