初三數學知識點總結

知識點總結

第21章二次根式

知識框圖

學習目標

對於本章內容，教學中應達到以下幾方面要求：

1. 理解二次根式的概念，了解被開方數必須是非負數的理由；

2. 了解最簡二次根式的概念；

3. 理解並掌握下列結論：

（1）是非負數；　（2）；　（3）；

4. 掌握二次根式的加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關實數的簡單四則運算；

5. 了解代數式的概念，進一步體會代數式在表示數量關係方面的作用。

i.二次根式的定義和概念：

1、定義：一般地，形如√ā（a≥0）的代數式叫做二次根式。當a＞0時，√a表示a的算數平方根,√0=0

2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是乙個非負數。

ii.二次根式√ā的簡單性質和幾何意義

1）a≥0 ; √ā≥0 [ 雙重非負性 ]

2）（√ā）^2=a （a≥0）[任何乙個非負數都可以寫成乙個數的平方的形式]

3) √(a^2+b^2)表示平面間兩點之間的距離，即勾股定理推論。

iii.二次根式的性質和最簡二次根式

1）二次根式√ā的化簡

a(a≥0）

√ā=|a|={

-a(a＜0)

2）積的平方根與商的平方根

√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）

√a/b=√a /√b（a≥0，b>0）

3）最簡二次根式

條件：（1）被開方數的因數是整數或字母，因式是整式；

（2）被開方數中不含有可化為平方數或平方式的因數或因式。

如：不含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等；

含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等

iv.二次根式的乘法和除法

1 運算法則

√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）

√a/b=√a /√b（a≥0，b>0）

二數二次根之積，等於二數之積的二次根。

2 共軛因式

如果兩個含有根式的代數式的積不再含有根式，那麼這兩個代數式叫做共軛因式，也稱互為有理化根式。

v.二次根式的加法和減法

1 同類二次根式

一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式後，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。

2 合併同類二次根式

把幾個同類二次根式合併為乙個二次根式就叫做合併同類二次根式。

3二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的進行合併

ⅵ.二次根式的混合運算

1確定運算順序

2靈活運用運算定律

3正確使用乘法公式

4大多數分母有理化要及時

5在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化

vii.分母有理化

分母有理化有兩種方法

i.分母是單項式

如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b

ii.分母是多項式

要利用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

iii.分母是多項式

要利用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

第22章一元二次方程

知識框圖

1）第23章旋轉

知識框圖

旋轉的定義

在平面內，將乙個圖形繞乙個圖形按某個方向轉動乙個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉。這個定點叫做旋轉中心，轉動的角度叫做旋轉角。

圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞著某個固定點旋轉固定角度的位置移動，其中對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段的長度、對應角的大小相等，旋轉前後圖形的大小和形狀沒有改變。

旋轉對稱中心把乙個圖形繞著乙個定點旋轉乙個角度後，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角（旋轉角小於0°，大於360°）。

中心對稱和中心對稱圖形是兩個不同而又緊密聯絡的概念．它們的區別是：中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關係，這兩個圖形關於一點對稱，這個點是對稱中心，兩個圖形關於點的對稱也叫做中心對稱．成中心對稱的兩個圖形中，其中乙個上所有點關於對稱中心的對稱點都在另乙個圖形上，反之，另乙個圖形上所有點的對稱點，又都在這個圖形上；而中心對稱圖形是指乙個圖形本身成中心對稱．中心對稱圖形上所有點關於對稱中心的對稱點都在這個圖形本身上．如果將中心對稱的兩個圖形看成乙個整體（乙個圖形），那麼這個圖形就是中心對稱圖形；乙個中心對稱圖形，如果把對稱的部分看成是兩個圖形，那麼它們又是關於中心對稱．

也就是說：

① 中心對稱圖形：如果把乙個圖形繞著某一點旋轉180度後能與自身重合，那麼我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。

②中心對稱：如果把乙個圖形繞著某一點旋轉180度後能與另乙個圖形重合，那麼我們就說，這兩個圖形成中心對稱。

中心對稱圖形

正（2n）邊形（n為大於1的正整數），線段，矩形，菱形，圓

只是中心對稱圖形

平行四邊形等．

既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形

不等邊三角形，非等腰梯形等．

中心對稱的性質

①關於中心對稱的兩個圖形是全等形。

②關於中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，並且被對稱中心平分。

③關於中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或者在同一直線上）且相等。

識別乙個圖形是否是中心對稱圖形就是看是否存在一點，使圖形繞著這個點旋轉180°後能與原圖形重合。

中心對稱是指兩個圖形繞某乙個點旋轉180°後，能夠完全重合，稱這兩個圖形關於該點對稱，該點稱為對稱中心.二者相輔相成，兩圖形成中心對稱，必有對稱中點，而點只有能使兩個圖形旋轉180°後完全重合才稱為對稱中點.

第24章圓

知識框圖

【圓的基本知識】

〖幾何中圓的定義〗

幾何說：平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長稱為半徑。

軌跡說：平面上一動點以一定點為中心，一定長為距離運動一周的軌跡稱為圓周，簡稱圓。

集合說：到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓。

〖圓的相關量〗

圓周率：圓周長度與圓的直徑長度的比叫做圓周率，值是3....，通常用π表示，計算中常取3.14為它的近似值(但奧數常取3或3.1416)。

圓弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大於半圓的弧稱為優弧，小於半圓的弧稱為劣弧。連線圓上任意兩點的線段叫做弦。經過圓心的弦叫做直徑。

圓心角和圓周角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另乙個交點的角叫做圓周角。

內心和外心：過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，其圓心稱為內心。

扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。

圓錐側面展開圖是乙個扇形。這個扇形的半徑稱為圓錐的母線。

〖圓和圓的相關量字母表示方法〗

圓—⊙ 半徑—r 弧—⌒ 直徑—d

扇形弧長／圓錐母線—l 周長—c 面積—s

〖圓和其他圖形的位置關係〗

圓和點的位置關係：以點p與圓o的為例（設p是一點，則po是點到圓心的距離），p在⊙o外，po＞r；p在⊙o上，po＝r；p在⊙o內，po＜r。

直線與圓有3種位置關係：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。以直線ab與圓o為例（設op⊥ab於p，則po是ab到圓心的距離）：

ab與⊙o相離，po＞r；ab與⊙o相切，po＝r；ab與⊙o相交，po＜r。

兩圓之間有5種位置關係：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內叫內含；有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內叫內切；有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。

兩圓的半徑分別為r和r，且r≥r，圓心距為p：外離p＞r+r；外切p=r+r；相交r-r＜p＜r+r；內切p=r-r；內含p＜r-r。

圓的平面幾何性質和定理

一有關圓的基本性質與定理

⑴圓的確定：不在同一直線上的三個點確定乙個圓。

圓的對稱性質：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。

垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的2條弧。逆定理：

平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的2條弧。

⑵有關圓周角和圓心角的性質和定理在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那麼他們所對應的其餘各組量都分別相等。一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半。直徑所對的圓周角是直角。

90度的圓周角所對的弦是直徑。

⑶有關外接圓和內切圓的性質和定理

①乙個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等；

②內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。

③s三角=1/2*△三角形周長*內切圓半徑

④兩相切圓的連心線過切點（連心線：兩個圓心相連的線段）

⑤圓o中的弦pq的中點m，過點m任作兩弦ab，cd，弦ad與bc分別交pq於x，y，則m為xy之中點。

〖有關切線的性質和定理〗

圓的切線垂直於過切點的半徑；經過半徑的一端，並且垂直於這條半徑的直線，是這個圓的切線。

切線的判定方法：經過半徑外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質：（1）經過切點垂直於這條半徑的直線是圓的切線。（2）經過切點垂直於切線的直線必經過圓心。（3）圓的切線垂直於經過切點的半徑。

切線長定理：從圓外一點到圓的兩條切線的長相等，那點與圓心的連線平分切線的夾角。

〖有關圓的計算公式〗

1.圓的周長c=2πr=πd 2.圓的面積s=πr^2; 3.扇形弧長l=nπr/180

4.扇形面積s=π（r^2-r^2） 5.圓錐側面積s=πrl

圓的解析幾何性質和定理

〖圓的解析幾何方程〗

圓的標準方程：在平面直角座標系中，以點o（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標準方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圓的一般方程：把圓的標準方程展開，移項，合併同類項後，可得圓的一般方程是x^2+y^2+dx+ey+f=0。和標準方程對比，其實d=-2a，e=-2b，f=a^2+b^2-r^2。

圓的離心率e=0，在圓上任意一點的曲率半徑都是r。

〖圓與直線的位置關係判斷〗

平面內，直線ax+by+c=0與圓x^2+y^2+dx+ey+f=0的位置關係判斷一般方法是：

1.由ax+by+c=0，可得y=（-c-ax）／b，（其中b不等於0），代入x^2+y^2+dx+ey+f=0，即成為乙個關於x的一元二次方程f（x）=0。利用判別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關係如下：

如果b^2-4ac>0，則圓與直線有2交點，即圓與直線相交。

如果b^2-4ac=0，則圓與直線有1交點，即圓與直線相切。

如果b^2-4ac<0，則圓與直線有0交點，即圓與直線相離。

2.如果b=0即直線為ax+c=0，即x=-c／a，它平行於y軸（或垂直於x軸），將x^2+y^2+dx+ey+f=0化為（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此時的兩個x值x1、x2，並且規定x1x2時，直線與圓相離；

當x1 (x+d/2)^2+(y+e/2)^2=d^2/4+e^2/4-f

=> 圓心座標為(-d/2,-e/2)

其實不用這樣算太麻煩了

只要保證x方y方前係數都是1

就可以直接判斷出圓心座標為(-d/2,-e/2)

這可以作為乙個結論運用的

且r=根號（圓心座標的平方和-f）

初三數學知識點總結

初三數學知識點總結

初三數學知識點總結

初三數學知識點總結

相關推薦