高中數學知識梳理總匯
第一部分集合與函式
1、在集合運算中一定要分清代表元的含義.
[舉例1]已知集，求.
2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.
[舉例]若且，求的取值範圍.
【易錯點1】忽視空集是任何非空集合的子集導致思維不全面。
例1、 設，，若，求實數a組成的集合的子集有多少個？答案:8個
【練1】已知集合、，若，則實數a的取值範圍是答案：或。
3、充要條件的判定可利用集合包含思想判定：若，則a是b的充分條件；若，則a是b的必要條件；若且即，則a是b的充要條件.有時利用「原命題」與「逆否命題」等價，「逆命題」與「否命題」等價轉換去判定也很方便.
充要條件的問題要十分細心地去辨析：「哪個命題」是「哪個命題」的充分（必要）條件；注意區分：「甲是乙的充分條件（甲乙）」與「甲的充分條件是乙（乙甲）」，是兩種不同形式的問題.
［舉例］設有集合，則點的＿＿＿＿＿＿＿條件是點；點是點的＿＿＿＿＿＿＿條件.
4、掌握命題的四種不同表達形式，會進行命題之間的轉化，會正確找出命題的條件與結論.能根據條件與結論判斷出命題的真假.
［舉例］命題：「若兩個實數的積是有理數，則此兩實數都是有理數」的否命題是 ＿，它是＿（填真或假）命題.
5、若函式的影象關於直線對稱，則有或等，反之亦然.注意：兩個不同函式影象之間的對稱問題不同於函式自身的對稱問題.
函式的影象關於直線的對稱曲線是函式的影象，函式的影象關於點的對稱曲線是函式的影象.
[舉例1]若函式是偶函式，則的影象關於＿＿＿＿＿＿對稱.
[舉例2]若函式滿足對於任意的有，且當時，則當時＿＿＿＿＿＿＿＿.
6、若函式滿足：則是以為週期的函式.注意：不要和對稱性相混淆.若函式滿足：則是以為週期的函式.（注意：若函式滿足，則也是週期函式）
［舉例］已知函式滿足：對於任意的有成立，且當時，，則＿＿＿＿＿＿.
7、奇函式對定義域內的任意滿足；偶函式對定義域內的任意滿足.注意：使用函式奇偶性的定**題時，得到的是關於變數的恒等式而不是方程.
奇函式的影象關於原點對稱,偶函式影象關於y軸對稱；若函式是奇函式或偶函式，則此函式的定義域必關於原點對稱；反之，若一函式的定義域不關於原點對稱，則該函式既非奇函式也非偶函式.若是奇函式且存在，則；反之不然.。［舉例1］若函式是奇函式，則實數＿＿＿＿＿＿＿；
[舉例2]若函式是定義在區間上的偶函式，則此函式的值域是＿＿.
8、奇函式在關於原點對稱的區間內增減性一致，偶函式在關於原點對稱的區間內增減性相反.若函式的影象關於直線對稱，則它在對稱軸的兩側的增減性相反；此時函式值的大小取決於變數離對稱軸的遠近.解「抽象不等式（即函式不等式）」多用函式的單調性，但必須注意定義域.
［舉例］若函式是定義在區間上的偶函式，且在上單調遞增，若實數滿足：，求的取值範圍.
[, , ]
例5、 判斷函式的奇偶性答案：奇函式。
【練5】判斷下列函式的奇偶性：
①②③答案：①既是奇函式又是偶函式②非奇非偶函式③非奇非偶函式
【易錯點3】易忘原函式和反函式的單調性和奇偶性的關係。從而導致解題過程繁鎖。
（2005天津卷）設是函式的反函式，則使成立的的取值範圍為（）a、 bc、 d答案：a
9、要掌握函式影象幾種變換：對稱變換、翻摺變換、平移變換.會根據函式的影象，作出函式的影象.（注意：影象變換的本質在於變數對應關係的變換）；要特別關注的影象.
［舉例］函式的單調遞增區間為
10、研究方程根的個數、超越方程（不等式）的解（特別是含有參量的）、二次方程根的分布、二次函式的值域、三角函式的性質（包括值域）、含有絕對值的函式及分段函式的性質（包括值域）等問題常利用函式影象來解決.但必須注意的是作出的圖形要盡可能準確：即找準特殊的點（函式影象與座標軸的交點、拐點、極值點等）、遞增遞減的區間、最值等.
［舉例1］已知函式，若不等式的解集不為空集，則實數的取值範圍是
[舉例2]若曲線與直線沒有公共點，則應當滿足的條件是 .
11、曲線可以作為函式影象的充要條件是：曲線與任何平行於y軸的直線至多只有乙個交點.
乙個函式存在反函式的充要條件是：定義域與值域中元素須一一對應，反應在影象上平行於軸的直線與影象至多有乙個交點.單調函式必存在反函式嗎？
（是的,並且任何函式在它的每乙個單調區間內總有反函式）.還應注意的是：有反函式的函式不一定是單調函式，你能舉例嗎？
［舉例］函式，（），若此函式存在反函式，則實數的取值範圍是＿.
12、求乙個函式的反函式必須標明反函式的定義域，反函式的定義域不能單從反函式的表示式上求解，而是求原函式的值域.求反函式的表示式的過程就是解（關於的）方程的過程.注意：
函式的反函式是唯一的，尤其在開平方過程中一定要注意正負號的確定.
［舉例］函式的反函式為
13、原函式的定義域是反函式的值域，原函式的值域是反函式的定義域；原函式與反函式的影象關於直線對稱；若函式的定義域為a，值域為c，,則有..需要特別注意一些復合函式的反函式問題.如反函式不是.
［舉例1］已知函式的反函式是，則函式的反函式的表示式是＿.
[舉例2]已知，若，則＿＿＿＿.
[, , ]
例3、 是r上的奇函式，（1）求a的值（2）求的反函式
答案:（1）a=1.（2）
【易錯點5】求反函式與反函式值錯位
例4、已知函式，函式的影象與的圖象關於直線對稱，則的解析式為（）
a、 b、 c、 d正確答案：b
14、判斷函式的單調性可用有關單調性的性質（如復合函式的單調性），但證明函式單調性只能用定義，不能用關於單調性的任何性質，用定義證明函式單調性的關鍵步驟往往是因式分解.記住並會證明：函式的單調性.
[舉例]函式在上是單調增函式，求實數的取值範圍.
【易錯點6】證明或判斷函式的單調性要從定義出發，注意步驟的規範性及樹立定義域優先的原則。
例7、（1）試判斷函式的單調性並給出證明。
答案:在和上分別為增函式，在和上分別為減函式.
（2） 設且為r上的偶函式。（1）求a的值（2）試判斷函式在上的單調性並給出證明答案：（1）（2）函式在上為增函式（證明略）
【易錯點7】在涉及指對型函式的單調性有關問題時，沒有根據性質進行分類討論的意識和易忽略對數函式的真數的限制條件。
例9、是否存在實數a使函式在上是增函式？若存在求出a的值，若不存在，說明理由答案:a>1
【練9】（1）（黃崗三月分統考變式題）設，且試求函式的的單調區間。
答案：當，函式在上單調遞減在上單調遞增；
當函式在上單調遞增在上單調遞減。
【易錯點10】求函式的定義域與求函式值域錯位
例29、已知函式
（1）如果函式的定義域為r求實數m的取值範圍。
（2）如果函式的值域為r求實數m的取值範圍。
答案: （1）或。（2）。
【練29】已知函式的定義域和值域分別為r和試分別確定滿足條件的a的取值範圍。答案：（1）或（2）或
15、一元二次函式是最基本的初等函式，要熟練掌握一元二次函式的有關性質.一元二次函式在閉區間上一定存在最大值與最小值，應會結合二次函式的影象求最值.
［舉例］求函式在區間的最值..
第二部分不等式
16、基本不等式要記住等號成立的條件與的取值範圍.「一正、二定、三相等」，「積定和有最小值、和定積有最大值」，利用基本不等式求最值時要考慮到等號是否成立.與函式相關的應用題多有基本不等式的應用.
［舉例］已知正數滿足，則的最小值為＿＿＿＿＿＿.
17、學會運用基本不等式：.
［舉例1］若關於的不等式的解集是r，則實數的取值範圍是＿＿；
[舉例2]若關於的不等式的解集不是空集，則實數的取值範圍是＿.
18、一元二次函式、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三個知識點.解一元二次不等式是「利用一元二次方程的根、結合一元二次函式的影象、寫出一元二次不等式的解集」，可以將一元二次不等式的問題化歸為一元二次方程來求解.特別對於含參一元二次不等式的討論比較方便.
還應當注意的是；不等式解集區間的端點值是對應方程的根（或增根）.
[舉例1]已知關於的不等式的解集是，則實數的值為 .
［舉例2］解關於的不等式：.
19、解分式不等式不能輕易去分母，通常採用：移項（化一邊為零）→通分→轉化為整式不等式→化所有因式中的變數係數為正，（即不等式兩邊同除以變數係數，若它的符號不能確定即需要討論）→「序軸標根」（注意比較各個根的大小，不能比較時即需要討論）；解絕對值不等式的關鍵是「去絕對值」，通常有①利用絕對值不等式的性質②平方③討論.特別注意：
求乙個變數的範圍時，若分段討論的也是這個變數，結果要「歸併」.
［舉例］解關於的不等式：.
20、求最值的常用方法：①用基本不等式（注意條件：一正、二定、三相等）；②方程有解法③單調性；④換元法；一般而言：
在用基本不等式求最值因「不相等」而受阻時，常用函的單調性；求二次函式（自變數受限制）的值域，先配方、再利用影象、單調性等；求分式函式的值域（自變數沒有限制）常用「逆求」（即判別式法）；求分式函式的值域（自變數受限制）通常分子、分母同除乙個式子，變分子（分母）為常數.
［舉例1］已知函式的最大值不大於，又當時，，
求實數的值.
[舉例2]求函式在區間上的最大值與最小值.
21、遇到含參不等式（或含參方程）求其中某個引數的取值範圍通常採用分離引數法，轉化為求某函式的最大值（或最小值）；但是若該引數分離不出來（或很難分離），那麼也可以整體研究函式的最值.特別注意：雙變數問題在求解過程中應把已知範圍的變數作為主變數，另乙個作為引數.
［舉例］已知不等式對於）恆成立，求實數的取值範圍.
【易錯點11】應用重要不等式確定最值時，忽視應用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時的變數值是否在定義域限制範圍之內。
例8、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。答案:。
【易錯點12】含參分式不等式的解法。易對分類討論的標準把握不准，分類討論達不到不重不漏的目的。
例28、解關於x的不等式＞1(a≠1).
答案:當a＞1時解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當0＜a＜1時，解集為(2，)；當a=0時，解集為；當a＜0時，解集為(，2).
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