人教版數學高中必修5習題
數列1．是首項a1＝1，公差為d＝3的等差數列，如果an＝2 005，則序號n等於( )．
a．667b．668c．669d．670
2．在各項都為正數的等比數列中，首項a1＝3，前三項和為21，則a3＋a4＋a5＝( )．
a．33b．72c．84d．189
3．如果a1，a2，…，a8為各項都大於零的等差數列，公差d≠0，則( )．
a．a1a8＞a4a5 b．a1a8＜a4a5 c．a1＋a8＜a4＋a5 d．a1a8＝a4a5
4．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個根組成乙個首項為的等差數列，則
｜m－n｜等於( )．
a．1bcd．
5．等比數列中，a2＝9，a5＝243，則的前4項和為( ).
a．81b．120c．168d．192
6．若數列是等差數列，首項a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，則使前n項和sn＞0成立的最大自然數n是( )．
a．4 005b．4 006c．4 007d．4 008
7．已知等差數列的公差為2，若a1，a3，a4成等比數列, 則a2＝( )．
a．－4b．－6c．－8d． －10
8．設sn是等差數列的前n項和，若＝，則＝( )．
a．1b．－1c．2d．
9．已知數列－1，a1，a2，－4成等差數列，－1，b1，b2，b3，－4成等比數列，則的值是( )．
abc．－或d．
10．在等差數列中，an≠0，an－1－＋an＋1＝0(n≥2)，若s2n－1＝38，則n＝( )．
a．38b．20c．10d．9
二、填空題
11．設f(x)＝，利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值為
12．已知等比數列中，
(1)若a3·a4·a5＝8，則a2·a3·a4·a5·a6
(2)若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，則a5＋a6
(3)若s4＝2，s8＝6，則a17＋a18＋a19＋a20
13．在和之間插入三個數，使這五個數成等比數列，則插入的三個數的乘積為 ．
14．在等差數列中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，則此數列前13項之和為 .
15．在等差數列中，a5＝3，a6＝－2，則a4＋a5＋…＋a10
16．設平面內有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這n條直線交點的個數，則f(4當n＞4時，f(n
三、解答題
17．(1)已知數列的前n項和sn＝3n2－2n，求證數列成等差數列.
(2)已知，，成等差數列，求證，，也成等差數列.
18．設是公比為 q 的等比數列，且a1，a3，a2成等差數列．
(1)求q的值；
(2)設是以2為首項，q為公差的等差數列，其前n項和為sn，當n≥2時，比較sn與bn的大小，並說明理由．
19．數列的前n項和記為sn，已知a1＝1，an＋1＝sn(n＝1，2，3…)．
求證：數列{}是等比數列．
參***
一、選擇題
1．c解析：由題設，代入通項公式an＝a1＋(n－1)d，即2 005＝1＋3(n－1)，∴n＝699．
2．c解析：本題考查等比數列的相關概念，及其有關計算能力．
設等比數列的公比為q(q＞0)，由題意得a1＋a2＋a3＝21，
即a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7．
解得q＝2或q＝－3(不合題意，捨去)，
∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×22×7＝84．
3．b．
解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除c．
又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d，
∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d ＋12d2＞a1·a8．
4．c解析：
解法1：設a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中兩根之和為2，x2－2x＋n＝0中兩根之和也為2，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，
∴d＝，a1＝，a4＝是乙個方程的兩個根，a1＝，a3＝是另乙個方程的兩個根．
∴，分別為m或n，
∴｜m－n｜＝，故選c．
解法2：設方程的四個根為x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n．
由等差數列的性質：若γ＋s＝p＋q，則aγ＋as＝ap＋aq，若設x1為第一項，x2必為第四項，則x2＝，於是可得等差數列為，，，，
∴m＝，n＝，
∴｜m－n｜＝．
5．b解析：∵a2＝9，a5＝243，＝q3＝＝27，
∴q＝3，a1q＝9，a1＝3，
∴s4＝＝＝120．
6．b解析：
解法1：由a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，知a2 003和a2 004兩項中有一正數一負數，又a1＞0，則公差為負數，否則各項總為正數，故a2 003＞a2 004，即a2 003＞0，a2 004＜0.
∴s4 006＝＝＞0，
∴s4 007＝·(a1＋a4 007)＝·2a2 004＜0，
故4 006為sn＞0的最大自然數. 選b．
解法2：由a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，同解法1的分析得a2 003＞0，a2 004＜0，
∴s2 003為sn中的最大值．
∵sn是關於n的二次函式，如草圖所示，
∴2 003到對稱軸的距離比2 004到對稱軸的距離小，
∴在對稱軸的右側．
根據已知條件及圖象的對稱性可得4 006在圖象中右側零點b的左側，4 007，4 008都在其右側，sn＞0的最大自然數是4 006．
7．b解析：∵是等差數列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，
又由a1，a3，a4成等比數列，
∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，
∴a2＝－8＋2＝－6．
8．a解析：∵＝＝＝·＝1，∴選a．
9．a解析：設d和q分別為公差和公比，則－4＝－1＋3d且－4＝(－1)q4，
∴d＝－1，q2＝2，
∴＝＝．
10．c
解析：∵為等差數列，∴＝an－1＋an＋1，∴＝2an，
又an≠0，∴an＝2，為常數數列，
而an＝，即2n－1＝＝19，
∴n＝10．
二、填空題
11．．
解析：∵f(x)＝，
∴f(1－x)＝＝＝，
∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝＝．
設s＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，
則s＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)，
∴2s＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋[f(－5)＋f(6)]＝6，
∴s＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝3．
12．（1）32；（2）4；（3）32．
解析：（1）由a3·a5＝，得a4＝2，
∴a2·a3·a4·a5·a6＝＝32．
（2），
∴a5＋a6＝(a1＋a2)q4＝4．
（3），
∴a17＋a18＋a19＋a20＝s4q16＝32．
13．216．
解析：本題考查等比數列的性質及計算，由插入三個數後成等比數列，因而中間數必與，同號，由等比中項的中間數為＝6，插入的三個數之積為××6＝216．
14．26．
解析：∵a3＋a5＝2a4，a7＋a13＝2a10，
∴6(a4＋a10)＝24，a4＋a10＝4，
∴s13＝＝＝＝26．
15．－49．
解析：∵d＝a6－a5＝－5，
∴a4＋a5＋…＋a10＝＝
＝7(a5＋2d)
＝－49．
16．5，(n＋1)(n－2)．
解析：同一平面內兩條直線若不平行則一定相交，故每增加一條直線一定與前面已有的每條直線都相交，∴f(k)＝f(k－1)＋(k－1)．
由f(3)＝2，
f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，
f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4＝9，
……f(n)＝f(n－1)＋(n－1)，
相加得f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．
三、解答題
17．分析：判定給定數列是否為等差數列關鍵看是否滿足從第2項開始每項與其前一項差為常數．
證明：（1）n＝1時，a1＝s1＝3－2＝1，
當n≥2時，an＝sn－sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，
n＝1時，亦滿足，∴an＝6n－5(n∈n*)．
首項a1＝1，an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常數)(n∈n*)，
∴數列成等差數列且a1＝1，公差為6．
（2）∵，，成等差數列，
∴＝＋化簡得2ac＝b(a＋c)．
＋＝＝＝＝＝2·，
∴，，也成等差數列．
18．解：（1）由題設2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q，
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，
∴q＝1或－．
（2）若q＝1，則sn＝2n＋＝．
當n≥2時，sn－bn＝sn－1＝＞0，故sn＞bn．
若q＝－，則sn＝2n＋ (－)＝．
當n≥2時，sn－bn＝sn－1＝，
故對於n∈n+，當2≤n≤9時，sn＞bn；當n＝10時，sn＝bn；當n≥11時，sn＜bn．
19．證明：∵an＋1＝sn＋1－sn，an＋1＝sn，
∴(n＋2)sn＝n(sn＋1－sn)，整理得nsn＋1＝2(n＋1) sn，
所以＝． 故{}是以2為公比的等比數列．
高一數學集合練習題及答案經典
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