十字交叉法
高中的關於一元二次的不等式、方程、函式都可以用十字交叉法來求
用「穿軸法」解高次不等式——「奇穿，偶切」，從最大根的右上方開始
不等式恆成立問題
ax+bx+c≥0（a≠0）恆成立則拋物線開口向上，a>0位於x軸上方，且最多與x軸有乙個焦點:方程ax+bx+c=0無解或只有乙個重根，即δ≤0 ，所以需要的條件為（a>0且δ≤0）。
ax+bx+c<=0（a≠0）恆成立則拋物線開口向下，a<0位於x軸下方，且最多與x軸有乙個焦點:方程ax+bx+c=0無解或只有乙個重根，即δ≤0，所以需要的條件為（a<0且δ≤0）。
1、函式
域：範圍，區間，～外。異～。
區～。地～。領～。
疆～。函式的定義域即使函式有定義（有意義）的自變數取值範圍。函式值域即在一定的定義域內，函式的取值範圍。
函式，y=x^2它的定義域是實數,可用r或(-∞,+∞)它值域是非負實數,y>=0,或[0,+∞)定義域還可限定，如求函式y=x^2在定義域[-2，2]的值域，它是[0，4]
能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域，求函式的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等於零； (2)偶次方根的被開方數不小於零； (3)對數式的真數必須大於零；(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1. (5)如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.
那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數為零底不可以等於零 (6)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義. 前三條是重點、
函式值域
(1)、函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函式的值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函式、二次函式、指數、對數函式及各三角函式的值域，它是求解複雜函式值域的基礎。
1. 直接觀察法對於一些比較簡單的函式，其值域可通過觀察得到。
例1. 求函式的值域。 解：∵ ∴ 顯然函式的值域是：
例2. 求函式的值域。 解：∵ 故函式的值域是：
2. 配方法配方法是求二次函式值域最基本的方法之一。
例3. 求函式的值域。
解：將函式配方得由二次函式的性質可知：當x=1時，，當時故函式的值域是：[4，8]
3. 判別式法
例4. 求函式的值域。
解：原函式化為關於x的一元二次方程
（1）當時解得：
（2）當y=1時，，而故函式的值域為
例5. 求函式的值域。
解：兩邊平方整理得：（1）
解得：但此時的函式的定義域由，得
由，僅保證關於x的方程：在實數集r有實根，而不能確保其實根在區間[0，2]上，即不能確保方程（1）有實根，由求出的範圍可能比y的實際範圍大，故不能確定此函式的值域為。
可以採取如下方法進一步確定原函式的值域。
代入方程（1）解得即當時，原函式的值域為：
注：由判別式法來判斷函式的值域時，若原函式的定義域不是實數集時，應綜合函式的定義域，將擴大的部分剔除。
4. 反函式法
直接求函式的值域困難時，可以通過求其原函式的定義域來確定原函式的值域。
例6. 求函式值域。 解：由原函式式可得：
則其反函式為：，其定義域為故所求函式的值域為：
5. 函式有界性法
直接求函式的值域困難時，可以利用已學過函式的有界性，反客為主來確定函式的值域。
例7. 求函式的值域解：由原函式式可得：
解得故所求函式的值域為
例8. 求函式的值域。
解：由原函式式可得：，可化為：
即即解得故函式的值域為
6. 函式單調性法
例9. 求函式的值域。
解：令則在[2，10]上都是增函式
所以在[2，10]上是增函式當x=2時，
當x=10時故所求函式的值域為：
例10. 求函式的值域。
解：原函式可化為：
令，顯然在上為無上界的增函式
所以，在上也為無上界的增函式
所以當x=1時，有最小值，原函式有最大值
顯然，故原函式的值域為
7. 換元法
通過簡單的換元把乙個函式變為簡單函式，其題型特徵是函式解析式含有根式或三角函式公式模型，換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函式的值域中同樣發揮作用
例11. 求函式的值域。
解：令則
又，由二次函式的性質可知當時， 當時，故函式的值域為
例12. 求函式的值域。
解：因即故可令
∵故所求函式的值域為
例13. 求函式的值域。 解：原函式可變形為：
可令，則有
當時當時而此時有意義。
故所求函式的值域為
例14. 求函式，的值域。
解：令，則
由且可得：
∴當時，，當時故所求函式的值域為。
例15. 求函式的值域。
解：由，可得故可令
當時當時故所求函式的值域為：
8. 數形結合法
其題型是函式解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。
例16. 求函式的值域。
解：原函式可化簡得：
上式可以看成數軸上點p（x）到定點a（2），間的距離之和。
由上圖可知，當點p**段ab上時，
當點p**段ab的延長線或反向延長線上時故所求函式的值域為：
例17. 求函式的值域。
解：原函式可變形為：
上式可看成x軸上的點到兩定點的距離之和，
由圖可知當點p為線段與x軸的交點時，， 故所求函式的值域為
例18. 求函式的值域。
解：將函式變形為：
上式可看成定點a（3，2）到點p（x，0）的距離與定點到點的距離之差。
即：由圖可知：（1）當點p在x軸上且不是直線ab與x軸的交點時，如點，則構成，根據三角形兩邊之差小於第三邊，有即：
（2）當點p恰好為直線ab與x軸的交點時，有
綜上所述，可知函式的值域為：
注：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函式式變形，使a、b兩點在x軸的兩側，而求兩距離之差時，則要使a，b兩點在x軸的同側。
如：例17的a，b兩點座標分別為：（3，2），，在x軸的同側；例18的a，b兩點座標分別為（3，2），，在x軸的同側。
9. 不等式法
利用基本不等式，求函式的最值，其題型特徵解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。
例20. 求函式的值域。
解：當且僅當，即當時，等號成立。
由可得：故原函式的值域為：
10. 一一對映法
原理：因為在定義域上x與y是一一對應的。故兩個變數中，若知道乙個變數範圍，就可以求另乙個變數範圍。
例21. 求函式的值域。 解：∵定義域為
由得故或
解得故函式的值域為
11. 多種方法綜合運用
例22. 求函式的值域。解：令，則
（1）當時，，當且僅當t=1，即時取等號，所以
（2）當t=0時，y=0。
綜上所述，函式的值域為注：先換元，後用不等式法
例23. 求函式的值域。
解：令，則
∴當時當時，此時都存在， 故函式的值域為
注：此題先用換元法，後用配方法，然後再運用的有界性。
總之，在具體求某個函式的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特徵，然後再選擇恰當的方法，一般優先考慮直接法，函式單調性法和基本不等式法，然後才考慮用其他各種特殊方法。
2、函式的奇偶性（首先定義域必須關於原點對稱）
⑴⑵奇函式
⑶任乙個定義域關於原點對稱的函式一定可以表示成乙個奇函式和乙個偶函式之和
即⑷練習：①(c93)是偶函式，且（ ）
a、奇 b、偶 c、既奇又偶 d、非奇非偶
②(c94)定義在上的函式可以表示成奇函式g(x)與偶函式h(x)之和，
若，那麼（ ）
數學知識點
空集子集 集合交集並集補集四種命題充要條件的判定 簡易邏輯 邏輯聯合詞 知識點次數 全稱命題與存在性命題 複數統計 頻率分布直方圖莖葉圖 眾數中位數平均數極差方差標準差 知識點順秀結構選擇結構 演算法迴圈結構偽 賦值語句互斥 對立事件等可能事件的概率 概率古典概型幾何概型定義域值域單調性奇偶對稱週期...
初中數學知識點總結
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