導數與積分
一、定義及其幾何意義
二、運算及性質
（一）導數的運算
1、幾種常見函式的導數[函式的導函式仍為同型別函式（個別除外）
(1)（c為常數） ； （2）；
(3) ；
(4) ；
★注：借助（3），（4）中兩個特例回憶與之對應的一般函式的求導公式
（56）
2、導數四則運算法則
（1） ； （2）；
（3）；
（4）3、復合函式求導 （注：由外到內逐層求導，求徹底）
設函式則
例1：求的導函式；
例2：求的導函式，並求該函式在處的切線方程；
例3：已知函式，求過點a（1，1），與該函式影象相切的切線方程
過點b，與該函式影象相切的切線方程
（二）積分的運算
1、基本定理：若，且在上可積，則=
例：計算下列定積分（★除個別外，大部分函式積分後仍為同型別函式；注意積分後，馬上借助熟悉的求導公式檢驗；先用公式代入，再去括號，以避免符號出錯。）
（1）； （2）； （3）
（4）； （5） ,
cosx-1, x>0 ，求
（6）2、利用幾何意義求面積（注意上下積分的正負）
性質： （k為常數）；
+；=+.
例1：計算由曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積；
例2：計算由曲線所圍成圖形的面積s；
例3：求由直線與曲線及x軸圍成的圖形面積s；
例4：求曲線所圍成的圖形面積。
例5：求積分
（三）導數的物理意義：位移的導數是（瞬時）速度，速度的導數是加速度
例1：質點m按規律作直線運動，若質點m在時的瞬時速度為，求常數的值。
例2：若汽車做變速直線運動，在時刻的速度，那麼它在這段時間行駛的路程是多少？
三、導數的應用
（一）利用導數判斷函式單調性
設函式在區間內可導，則在區間內單調遞增
在區間內單調遞減
★注：導函式的正負決定原函式增減；導函式絕對值大小決定原函式影象陡緩.
（二）利用導數求函式極值
1、★設函式在區間內可導, 則
在處取極值，為的乙個極值點
即：是在處取得極值的必要不充分條件
反例辨析：是否為的乙個極值點？
★注：審清題意是關鍵，極值點是指使得時的值；極值是指時原函式的值。
2、求極值的方法
(1)列表
(2)借助穿根法判斷導函式正負，判斷極大極小值（求單調區間也可採用該方法）
（三）利用導數求函式最值
一般情況下，最大值產生於極大值或者端點處，最小值產生於極小值或者端點處。
（四）注意事項及解題技巧
1、一定要關注原函式定義域及給定的研究範圍，避免所求極值或單調區間超出範圍無意義；
2、分類討論是熱點，因需要而討論，不能為了討論而討論，討論時分界點的尋找常常依據：二次項係數的正負；導函式幾個根（即極值點）之間的大小比較；
極值點與端點值大小比較
（五）例題演練
1、已知是實數，函式。
（ⅰ）求函式的單調區間；
（ⅱ）設為在區間上的最小值。
（i）寫出的表示式；
（ii）求的取值範圍，使得。
2、已知函式其中，.
(1)若曲線在點p處的切線方程為，求函式的解析式；
（2）討論函式的單調性；（3）若對於任意不等式在上恆成立，求b的取值範圍 。
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