導數複習（2）
一、例題
例1．求過拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上一點p（x0，y0）處的切線方程，並由此證實拋物線的光學性質。
分析：為求斜率，先求導函式：y'=2ax+b，故切線方程為y－y0=(2ax0+b)(x－x0)
即 y=(2ax0+b)x－ax+c，亦即y=(2ax0+b)x－ax+c.
拋物線焦點：f（－,），它關於切線的對稱點之橫座標當x0，說明從焦點發出的光線射到（x0，y0）經拋物面反射後反射光線平行於對稱軸，反之亦然。
要求過曲線上一點處的切線方程，一般先求出該點的導數值（斜率），再用點斜式寫出後化簡，同時我們還可以據此寫出該點處的法線方程。
解：顯然，y0=ax+bx0+c
y'=2ax+b 故在p點處切線斜率為2ax0+b，
切線方程y－(ax+bx0+c)=(2ax0+b)(x－x0)，
亦即y=(2ax0+b)x－ax+c.
由於y=ax2+bx+c按向量=平移即得到y=ax2，只須證明過其上一點（x0，ax）的切線l ：y=2ax0x－ax 滿足：焦點關於l的對稱點為（m，n）.
當x0≠0時，消去n. 知 m=x0.
當x0=0時，切線為y=0，f之對稱點橫座標顯然是0，
故從焦點發出的光線射到（x0，ax）後被拋物面反射後的方程為x=x0（與對稱軸平行）；反之，與對稱軸平行的光線被拋物面反射後必聚匯於焦點.
例2．已知一直線l經過原點且與曲線y＝x3－3x2＋2x相切，試求直線l的方程。
分析： 設切點為（x0，y0），則y0＝x03－3x02＋2x0，由於直線l經過原點，故等式的兩邊同除以x0即得切線的斜率，再根據導數的幾何意義求出曲線在點x0處的切線斜率，便可建立關於x0的方程。在兩邊同除以x0時，要注意對x0是否為0進行討論。
解：設直線l：y＝kx 。 ∵y'＝3x2－6x＋2， ∴y'|x=0＝2，又∵直線與曲線均過原點，於是直線y＝kx與曲線y＝x3－3x2＋2相切於原點時，k＝2。
若直線與曲線切於點(x0，y0) (x0≠0)，則k＝，∵y0＝x03－3x02＋2x0，
∴=x02－3x0＋2，
又∵k＝y'|＝3x02－6x0＋2，
∴x02－3x0＋2＝3x02－6x0＋2， ∴2x02－3x0＝0，
∵x0≠0， ∴x0＝， ∴k＝x02－3x0＋2＝－，
故直線l的方程為y＝2x或y＝－x。
例3．在直線軌跡上執行的一列火車，從剎車到停車這段時間內，測得剎車後t秒內列車前進的距離s＝27t－0.45t2（單位是公尺），這列火車在剎車後幾秒鐘才停車？剎車後又執行了多少公尺？
解：當火車執行速度為0時，火車停車。
v＝s'＝(27t－0.45t2)'＝27－0.9t，
令27＝0.9t＝0，得t＝30（秒），
則s＝27×30－0.45×302＝405（公尺），
故這列火車在剎車後30秒鐘才停車，剎車後又執行了405公尺。
例4．求曲線y＝在橫座標為x0的點處的切線方程，並求此曲線的切線被兩座標軸所截線段的最短長度。
分析：先根據導數的幾何意義求出曲線在點x0處的切線方程，從而求出切線被兩座標軸所截線段，再用基本不等式求其最小值。
解：由導數的定義可得y'＝－，則過()點的切線方程為，由此得切線在x軸與y軸上的交點分別為a(x0，0)，b(0，)。
則|ab|2＝≥，
∴|ab|≥，當且僅當，即x0＝±時，等號成立。故最短長度為。
例5．如圖，已知圓心為o，半徑為1的圓與直線l相切於點a，一動點p自切點a沿直線l向右移動時，取弧ac的長為，
直線pc與直線ao交於點m。又知當ap=時，點p的速度為v，求這時點m的速度。（2023年·全國高考附加題）
分析： 設ap的長為x，am的長為y，用x表示y，並用復合函式求導法則對時間t進行求導。
解：如圖，作cd⊥am，並設ap=x，am=y，∠coa=θ，
由題意弧ac的長為，半徑oc=1，可知θ=，考慮θ∈（0，π）。
∵△apm∽△dcm，∴。
∵dm=y- (1-cos)，dc=sin，∴
∴。上式兩邊對時間t進行求導，則。
∴=當時，，代入上式得點m的速度。
二、作業同步練習 x30f2
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