兩個向量的數量積是中學代數以往內容中從未遇到過的一種新的乘法，它區別於數的乘法．這篇案例從學生熟知的功的概念出發，引出平面向量數量積的概念和性質及其幾何意義，介紹向量數量積的運算律及座標表示．向量的數量積把向量的長度和三角函式聯絡在一起，這為解決三角形的有關問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題．這節內容是整個向量部分的重要內容之一，對它的理解與掌握將直接影響向量其他內容的學習．這節內容的教學難點是對平面向量數量積的定義及運算律的理解和對平面向量數量積的應用．
1. 理解並掌握平面向量的數量積、幾何意義和數量積的座標表示，會初步使用平面向量的數量積來處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．
2. 通過對數量積的引入和應用，初步體會知識發生、發展的過程和運用過程，培養學生的科學思維習慣．
兩個向量的數量積從形式和實質上都與數的乘法有區別，這就給理解和掌握這個概念帶來了一些困難．在學習時，要充分讓學生理解、明白兩個向量的數量積是乙個數量，而不是向量．兩個向量的數量積的值是這兩個向量的模與兩個向量夾角余弦的乘積，其符號由夾角余弦值的正負而確定．
兩向量的數量積「a·b」不同於兩實數之積「ab」．
通過例項理解a·b＝b·c與a＝c的關係，a·b＝0與a＝0或b＝0的關係，以及（a·b）c＝a（b·c）與（ab）c＝a（bc）的不同．
如圖40-1所示，乙個力f作用於乙個物體，使該物體發生了位移s，如何計算這個力所做的功．由於圖示的力f的方向與前進方向有乙個夾角θ，真正使物體前進的力是f在物體前進方向上的分力，這個分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功w可用下式計算．
w＝｜s｜｜f｜cosθ．
其中｜f｜cosθ就是f在物體前進方向上的分量，也就是力f在物體前進方向上正射影的數量．
問題：像功這樣的數量值，它由力和位移兩個向量來確定．我們能否從中得到啟發，把「功」看成這兩個向量的一種運算的結果呢？
1. 引導學生從「功」的模型中得到如下概念：
已知兩個非零向量a與b，把數量｜a｜｜b｜cosθ叫a與b的數量積（內積），記作a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．
規定0與任一向量的數量積為０．
由上述定義可知，兩個向量ａ與ｂ的數量積是乙個實數．
說明：向量a與b的夾角θ是指把a，b起點平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當θ＝時，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉．
2. 引導學生思考討論
根據向量數量積的定義，可以得出
（1）設e是單位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉．
（2）設a·b是非零向量，則a⊥ba·b＝0．
（3）a·a＝｜a｜2，於是｜a｜＝.
（4）cos〈a，b〉＝.
（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（這與實數｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．
［例題］
已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b．
解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10．
［練習］
1. 已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）a·ｂ． （2）a在b上的投影．
2. 已知：在△abc中，a＝5，b＝8，c＝60°，求·．
1. 出示問題：從數學的角度考慮，我們希望向量的數量積運算，也能像數量乘法那樣滿足某些運算律，這樣數量積運算才更富有意義．回憶實數的運算律，你能模擬和歸納出向量數量積的一些運算律嗎？
它們成立嗎？為什麼？
2. 運算律及其推導
已知：向量a，b，c和λ∈r，則
（1）a·b＝b·a（交換律）．
證明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．
（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（數乘結合律）．
證明：設a，b夾角為θ，當λ＞0時，λa與b的夾角為θ，
∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；
當λ＜0時，λa與b的夾角為（π－θ），
∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；
當λ＝0時，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）．
總之，（λa）·b＝λ（a·b）；
同理a·（λb）＝λ（a·b）．
（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法對加法的分配律）．
證明：如圖40-2，任取一點o，作＝a，＝ｂ，＝c．
∵a＋b（即）在c方向上的投影等於a，b在c方向上的投影的和，即
｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，
∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝
｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b，
∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．
思考：（1）向量的數量積滿足結合律，即（a·b）c＝a（b·c）嗎？
（2）向量的數量積滿足消去律，即如果a·b＝c·b，那麼a＝c嗎？
［例題］
1. 對實數a，b，有（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a＋b）（a－b）＝a2－b2．類似地，對任意向量a，b，也有類似結論嗎？為什麼？
解：模擬完全平方和公式與平方差公式，有
（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2．
其證明是：（a＋b）2＝（a＋b）·（a＋b）＝
a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝
a2＋2a·b＋b2，
（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝
a2－b2．
∴有類似結論．
2. 已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）．
解：（a＋2b）·（a－3b）＝
a2－3a·b＋2b·a－6b2＝
｜a｜2－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜2＝－72．
3. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當k為何值時，（a＋kb）⊥（a－kb）？
解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±．
因此，當k＝±時，有（a＋kb）⊥（a－kb）．
4. 已知：正方形abcd的邊長為1，並且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．
解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，
∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．
解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1× ×＋2×1××＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．
［練習］
1. ｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．
2. 在邊長為2的正三角形abc中，求·＋·＋·．
1. 當向量a，b的夾角為銳角時，你能說明a·b的幾何意義嗎？
如圖40-3，a·b，即以b在a上射影的長和ａ的長為兩鄰邊的矩形面積（oa＝oa1）．
2. 平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖40-4，＝＋，＝－．試說明平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關係．
3. 三個單位向量a，b，c有相同終點且a＋b＋c＝0，問：它們的起點連成怎樣的三角形？
解法1：如圖40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）2＝（－c）2，
∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠aoc＝－1，cos∠aoc＝，∠aoc＝120°．
同理∠boc＝∠aoc＝120°，故△aob，△boc，△boc全等，∴ab＝ac＝bc，即該△abc為等邊三角形．
解法2：如圖40-6，＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋．
∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴oadb為菱形．
又｜｜＝1，∴∠aob＝120°．
同理∠aoc＝∠boc＝120°，…
4. 在△abc中，·＝·＝·，問：o點在△abc的什麼位置？
解：由·＝·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，同理⊥，⊥．故o是△abc的垂心．
這篇案例的乙個突出特點是使用模擬方法，即在研究向量的數量積的性質及運算律時，經常以實數為物件進行模擬．以物理學中的力對物體做功的例項，引入數量積的過程比較自然，學生容易接受．在「拓展延伸」中，較多地展示了向量的綜合應用．這都充分體現了向量是數形結合的重要載體．運用向量方法解決與向量有關的綜合問題，越來越成為考查學生數學思維能力的乙個重要方面．認識向量並會使用向量是這一部分的基礎，也是重點．總之，這篇案例較好地實現了教學目標，同時，關注模擬方法的運用，以及學生數學思維水平的提高．美中不足的是，對學生的自主**的引導似乎有所欠缺．
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