第17講導數應用的題型與方法
一、專題綜述
導數是微積分的初步知識，是研究函式，解決實際問題的有力工具。在高中階段對於導數的學習，主要是以下幾個方面:
1．導數的常規問題：
（1）刻畫函式（比初等方法精確細微）；（2）同幾何中切線聯絡（導數方法可用於研究平面曲線的切線）；（3）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數方法顯得簡便）等關於次多項式的導數問題屬於較難型別。
2．關於函式特徵，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數法求最值要比初等方法快捷簡便。
3．導數與解析幾何或函式圖象的混合問題是一種重要型別，也是高考中考察綜合能力的乙個方向，應引起注意。
二、知識整合
1．導數概念的理解．
2．利用導數判別可導函式的極值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值．
復合函式的求導法則是微積分中的重點與難點內容。課本中先通過例項，引出復合函式的求導法則，接下來對法則進行了證明。
3．要能正確求導，必須做到以下兩點：
（1）熟練掌握各基本初等函式的求導公式以及和、差、積、商的求導法則，復合函式的求導法則。
（2）對於乙個復合函式，一定要理清中間的復合關係，弄清各分解函式中應對哪個變數求導。
4．求復合函式的導數，一般按以下三個步驟進行：
(1）適當選定中間變數，正確分解復合關係；（2）分步求導（弄清每一步求導是哪個變數對哪個變數求導）；（3）把中間變數代回原自變數（一般是x）的函式。
也就是說，首先，選定中間變數，分解復合關係，說明函式關係y=f(μ)，μ=f(x)；然後將已知函式對中間變數求導，中間變數對自變數求導；最後求，並將中間變數代回為自變數的函式。整個過程可簡記為分解——求導——回代。熟練以後，可以省略中間過程。
若遇多重復合，可以相應地多次用中間變數。
三、例題分析
例1． 在處可導，則
思路： 在處可導，必連續
例2．已知f(x)在x=a處可導，且f′(a)=b，求下列極限：
（1）； （2）
分析：在導數定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對應的形式。利用函式f(x)在處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉化為導數定義的結構形式。
解：（1）
（2）說明：只有深刻理解概念的本質，才能靈活應用概念解題。解決這類問題的關鍵是等價變形，使極限式轉化為導數定義的結構形式。
例3．觀察，，，是否可判斷，可導的奇函式的導函式是偶函式，可導的偶函式的導函式是奇函式。
解：若為偶函式令
∴ 可導的偶函式的導函式是奇函式
另證：∴ 可導的偶函式的導函式是奇函式
例4．（1）求曲線在點（1，1）處的切線方程；
（2）運動曲線方程為，求t=3時的速度。
分析：根據導數的幾何意義及導數的物理意義可知，函式y=f(x)在處的導數就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率。瞬時速度是位移函式s(t)對時間的導數。
解：（1），
，即曲線在點（1，1）處的切線斜率k=0
因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1
（2）。例5． 求下列函式單調區間
（1） （2）
（34）
解：（1） 時
∴，（2） ∴，
（3）∴∴， ，
（4） 定義域為
例6．求證下列不等式
（1）（2）
（3）證：（1）
∴為上 ∴ 恆成立
∴∴在上 ∴恆成立
（2）原式令
∴ ∴
∴（3）令
∴∴例7．利用導數求和：
（1）；
（2）。
分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉換思維角度，由求導公式，可聯想到它們是另外乙個和式的導數，利用導數運算可使問題的解決更加簡捷。
解：（1）當x=1時，
； 當x≠1時，
∵，兩邊都是關於x的函式，求導得
即（2）∵，
兩邊都是關於x的函式，求導得。
令x=1得
， 即。
例8．設，求函式的單調區間.
分析：本小題主要考查導數的概念和計算，應用導數研究函式性質的方法及推理和運算能力.
解：.當時 .
（i）當時，對所有，有.
即，此時在內單調遞增.
（ii）當時，對，有，
即，此時在（0，1）內單調遞增，又知函式在x=1處連續，因此，
函式在（0，+）內單調遞增
（iii）當時，令，即.
解得.因此，函式在區間內單調遞增，在區間
內也單調遞增.
令，解得.
因此，函式在區間內單調遞減.
例9．已知拋物線與直線y=x+2相交於a、b兩點，過a、b兩點的切線分別為和。
（1）求a、b兩點的座標； （2）求直線與的夾角。
分析：理解導數的幾何意義是解決本例的關鍵。
解 （1）由方程組
解得 a(-2，0)，b(3，5)
（2）由y′=2x，則，。設兩直線的夾角為θ，根據兩直線的夾角公式，
所以說明：本例中直線與拋物線的交點處的切線，就是該點處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號。
例10．（2023年天津卷）設，是上的偶函式。
（i）求的值； （ii）證明在上是增函式。
解：（i）依題意，對一切有，即，
∴對一切成立，
由此得到，， 又∵，∴。
（ii）證明：由，得，
當時，有，此時。∴在上是增函式。
四、04年高考導數應用題型集錦
1．（全國卷10）函式y=xcosx-sinx在下面哪個區間內是增函式（ ）
ab (π,2cd (2π,3π)
2．（全國卷22）（本小題滿分14分）已知函式f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(i)求函式f(x)的最大值；(ii)設03.(天津卷9)函式)為增函式的區間是
(a) (b) (c) (d)
4.（天津卷20）（本小題滿分12分） 已知函式在處取得極值。
(i)討論和是函式的極大值還是極小值；
(ii)過點作曲線的切線，求此切線方程。
（江蘇卷10）函式在閉區間[-3，0]上的最大值、最小值分別是 ( )
(a)1，-1 (b)1，-17 (c)3，-17 (d)9，-19
（浙江卷11）設f '(x)是函式f(x)的導函式，y=f '(x)的圖象
如右圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是
(abcd)
（浙江卷20）設曲線y=ex(x≥0)在點m(t,et}處的切線l與x軸、y軸圍成的三角形面積為s(t).
(1)求切線l的方程；(2)求s(t)的最大值。
高三數學導數應用的題型與方法
第114 117課時導數應用的題型與方法 一 複習目標 1 了解導數的概念，能利用導數定義求導數 掌握函式在一點處的導數的定義和導數的幾何意義，理解導函式的概念 了解曲線的切線的概念 在了解瞬時速度的基礎上抽象出變化率的概念 2 熟記基本導數公式 c,x m為有理數 sin x,cos x,e,a,...
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高三數學第二輪複習教案 第8講導數應用的題型與方法 4課時 一 考試內容 導數的概念，導數的幾何意義，幾種常見函式的導數 兩個函式的和 差 積 商的導數，復合函式的導數，基本導數公式，利用導數研究函式的單調性和極值，函式的最大值和最小值 二 考試要求 了解導數概念的某些實際背景 如瞬時速度 加速度 ...
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