●高考明方向
1.了解函式的單調性與導數的關係；
能利用導數研究函式的單調性，
會求函式的單調區間(其中多項式函式不超過三次)．
2.了解函式在某點取得極值的必要條件和充分條件，
會用導數求函式的極大值、極小值
其中多項式函式不超過三次)；
會求閉區間上函式的最大值、最小值
其中多項式函式不超過三次)
★備考知考情
由於高考對本節知識的考查仍將突出導數的工具性，重點考查利用導數研究函式極值、最值及單調性等問題，其中蘊含對轉化與化歸、分類討論和數形結合等數學思想方法的考查，故備考時要認真掌握導數與函式單調性、極值的關係，強化導數的工具性的作用．另外，導數常與解析幾何、不等式、方程相聯絡．因此，要加強導數應用的廣泛意識，注重數學思想和方法的應用.
一、 知識梳理《名師一號》p41
注意：定義域優先原則！！！
第一課時函式的導數與單調性
知識點一函式的導數與單調性的關係
一般地，函式在某個區間內可導：
如果恒有，則是增函式。
如果恒有，則是減函式。
如果恒有，則是常數。
注意：（補充）求函式單調區間的一般步驟：
（1）求函式的定義域--單調區間必定是定義域的子集.
（2）求函式的導數
（3）令以及,
求自變數的取值範圍，即函式的單調區間。
單調區間須寫成區間！
單調性的證明方法：定義法及導數法
單調性的判斷方法：
定義法及導數法、圖象法、復合函式的單調性
(同增異減)、用已知函式的單調性等
單調性的簡單性質：
奇函式在其對稱區間上的單調性相同；
偶函式在其對稱區間上的單調性相反.
注意:《名師一號》p40 問題**問題1、2
對於可導函式f(x)，
f′(x)>0是f(x)為增函式的充要條件嗎？
若不是，那其充要條件是什麼？
f′(x)>0(或f′(x)<0)僅是f(x)在某個區間上為增函式(或減函式)的充分條件，在(a，b)內可導的函式f(x)在(a，b)上遞增(或遞減)的充要條件應是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恆成立，且f′(x)在(a，b)的任意子區間內都不恆等於0.
由函式單調性確定引數取值範圍的方法是什麼？
(1)利用集合間的包含關係處理：
y＝f(x)在(a，b)上單調，
則區間(a，b)是相應單調區間的子集．
(2)轉化為不等式的恆成立問題：
即利用「若函式單調遞增，則f′(x)≥0；
若函式單調遞減，則f′(x)≤0」來求解．
二、例題分析：
(一) 利用函式單調性確定函式的圖象
例1.《名師一號》p42 高頻考點例1
已知函式f(x)的導函式為f′(x)，
若y＝f′(x)的圖象如圖所示，
則函式y＝f(x)的圖象可能是( )
由函式f(x)的導函式y＝f′(x)的圖象自左至右是先增後減，可知函式y＝f(x)圖象的切線的斜率自左至右先增大後減小，觀察圖象可知只有b符合．故選b.
注意:《名師一號》p42 高頻考點例1 規律方法
已知y＝f′(x)的圖象識別y＝f(x)的圖象，關鍵是理解導函式的圖象與函式圖象的公升降關係，本例中導函式y＝f′(x)的圖象先遞增後遞減，且區間具有對稱性，從而可得y＝f(x)圖象的斜率變化情況也應該是先遞增後遞減，並注意圖象的對稱性，正確的選項就不難得到．
注意：（補充）
一般的,如果乙個函式在某一範圍內導數的絕對值較大,
那麼函式在這個範圍內變化得快,
這時函式的影象就比較陡峭(向上或向下);
反之,函式的影象就平緩一些
(二) 求函式的單調區間
例1.(1)周練13-4
4. 函式的單調遞減區間為（ ）
a. b.
c.[-1，1d.
例1.(2)周練13-16
設函式f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0求函式f(x)的單調區間與極值．
16.解: 由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0 知f ′(x)＝1＋sin(x＋)．
令f ′(x)＝0，從而sin(x＋)＝－，得x＝π，或x＝，
當x變化時，f ′(x)，f(x)變化情況如下表：
因此，由上表知f(x)的單調遞增區間是(0，π)與(，2π)，
單調遞減區間是(π，)，極小值為f()＝，極大值為f(π)＝π＋2.
例1.(3)《名師一號》p43 高頻考點例2
已知函式f(x)＝(k為常數，
e是自然對數的底數)，
曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行．
(1)求k的值． (2)求f(x)的單調區間．
解析：(1)由題意得f′(x)＝，
又f′(1)＝＝0，故k＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝.
設h(x)＝－lnx－1(x>0)，
則h′(x)＝－－<0，即h(x)在(0，＋∞)上是減函式．
由h(1)＝0知，當00，
從而f′(x)>0；
當x>1時，h(x)<0，從而f′(x)<0.
綜上可知，f(x)的單調遞增區間是(0,1)，
單調遞減區間是(1，＋∞)．
例2.（1）（補充）周練13-17
設函式f（x）=x3－ax2+3x+5（a>0），求f（x）的單調區間.
17.解：（1）（x）=3x2－ax+3，
判別式δ=a2－36=（a－6）（a+6）.
1°00對x∈r恆成立.
∴當02°a=6時，y=x3－3x2+3x+5=（x－1）3+4.∴在r上單調遞增.
3°a>6時，δ>0，由（x）>0
x>或x<.
（x）<0∴在（，+∞）和（－∞，）內單調遞增，
在（，）內單調遞減.
例2.（2）（補充）周練13-18
已知函式其中．
(1)當時，求曲線處的切線的斜率；
(2)當時，求函式的單調區間．
18.（1）解：
所以曲線處的切線的斜率為
（）以下分兩種情況討論。
1）＞，則＜.
當變化時，的變化情況如下表：
∴ 2）＜，則＞，當變化時，的變化情況如下表：
∴例2.（3）（補充）基礎測試5--附加題
已知，函式．
(ⅲ)若在區間(0，]上至少存在乙個實數，
使成立，求實數的取值範圍。
(ⅲ)設 ，
，因為，，
所以，…………15分
在區間上為增函式，
則17分
依題意，只需，
即，即，
解得或（捨去） …………19分
所以正實數的取值範圍是 …………20分
注意：討論函式的單調性典例
(三) 已知函式的單調性求引數的取值範圍
例1.《名師一號》p43 高頻考點例3
已知函式f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a∈r)．
(1)當a＝1時，求函式f(x)的單調區間；
(2)若函式f(x)在區間(1，＋∞)上是減函式，
求實數a的取值範圍．
解析:(1)當a＝1時，f(x)＝lnx－x2＋x，其定義域是：(0，＋∞)．
f′(x)＝－2x＋1＝－，
令f′(x)＝0，即－＝0，
解得x＝－或x＝1.
∵x>0，∴x＝1.
當00；當x>1時，f′(x)<0.
∴函式f(x)在區間(0,1)上單調遞增，
在區間(1，＋∞)上單調遞減．
(2)顯然函式f(x)＝lnx－a2x2＋ax的定義域為(0，＋∞)，
∴f′(x)＝－2a2x＋a＝
＝.①當a＝0時，f′(x)＝>0，
∴f(x)在區間(1，＋∞)上為增函式，不合題意．
②當a>0時，f′(x)≤0(x>0)
等價於(2ax＋1)(ax－1)≥0(x>0)，即x≥，
此時f(x)的單調遞減區間為.
由得a≥1.
③當a<0時，f′(x)≤0(x>0)
等價於(2ax＋1)(ax－1)≥0(x>0)，即x≥－，
此時f(x)的單調遞減區間為.
由得a≤－.
綜上，實數a的取值範圍是∪[1，＋∞)．
法二？ 轉化為不等式恆成立問題
注意:《名師一號》p40 問題**問題1、2
對於可導函式f(x)，
f′(x)>0是f(x)為增函式的充要條件嗎？
若不是，那其充要條件是什麼？
f′(x)>0(或f′(x)<0)僅是f(x)在某個區間上為增函式(或減函式)的充分條件，在(a，b)內可導的函式f(x)在(a，b)上遞增(或遞減)的充要條件應是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恆成立，且f′(x)在(a，b)的任意子區間內都不恆等於0.
由函式單調性確定引數取值範圍的方法是什麼？
(1)利用集合間的包含關係處理：
y＝f(x)在(a，b)上單調，
則區間(a，b)是相應單調區間的子集．
(2)轉化為不等式的恆成立問題：
即利用「若函式單調遞增，則f′(x)≥0；
若函式單調遞減，則f′(x)≤0」來求解．
練習1：已知函式，．
（ⅰ）討論函式的單調區間；
（ⅱ）設函式在區間內是減函式，
求的取值範圍．
解：（1）
求導：當時，，
在上遞增
當， 求得兩根為
即在遞增，
遞減，遞增
（2）依題意，即且
所以，且
解得：解法二：依題意得時，
即， 因為開口方向向上，
故必在或取得
所以等價於解得：
練習2:周練13-14
已知函式f(x)＝在區間(－2，＋∞)上單調遞減，則實數a的取值範圍是________．
14. 由題可知，函式f(x)＝在區間(－2，＋∞)上單調遞減，所以其導函式f′(x)＝＝在(－2，＋∞)上小於零，解得a>6.
法二:,當即時在區間(－2，＋∞)上單調遞減.
變式:計時雙基練p217 基礎8
已知函式在區間(－2，＋∞)上單調遞增，
則實數a的取值範圍是________．
則注意:單調區間必是定義域的子集!
例2.（補充）
若函式f(x)＝x3－12x在區間(k－1，k＋1)
上不是單調函式，則實數k的取值範圍是( )
a．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3
b．－3c．－2 一 導數 1.導數的幾何意義 求函式在某點處的切線方程 函式在點處的導數的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，也就是說，曲線在點p處的切線的斜率是，切線方程為 2 基本常見函式的導數 c為常數 二 導數的運算 1.導數的四則運算 法則1 兩個函式的和 或差 的導數,等於這兩個函式的導數的和 或差 即... 一 向量知識點歸納 1 與向量概念有關的問題 向量不同於數量，數量是只有大小的量 稱標量 而向量既有大小又有方向 數量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才能比較大小.記號 錯了，而 才有意義.有些向量與起點有關，有些向量與起點無關.由於一切向量有其共性 大小和方向 故我們只研究與起點無關的... 一 複習目標 1 了解導數的概念，能利用導數定義求導數 掌握函式在一點處的導數的定義和導數的幾何意義，理解導函式的概念 了解曲線的切線的概念 在了解瞬時速度的基礎上抽象出變化率的概念 2 熟記基本導數公式 c,x m為有理數 sin x,cos x,e,a,lnx,logx的導數 掌握兩個函式四則運...導數知識點歸納總結
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