一、向量知識點歸納
1．與向量概念有關的問題
⑴向量不同於數量，數量是只有大小的量（稱標量），而向量既有大小又有方向；數量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才能比較大小.記號「＞」錯了，而||＞||才有意義.
⑵有些向量與起點有關，有些向量與起點無關.由於一切向量有其共性（大小和方向），故我們只研究與起點無關的向量（既自由向量）.當遇到與起點有關向量時，可平移向量.
⑶平行向量（既共線向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量
⑷單位向量是模為1的向量，其座標表示為（）,其中、滿足 ＝1（可用（cos,sin）（0≤≤2π）表示）.特別：表示與同向的單位向量。
例如：向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；
例1、o是平面上乙個定點，a、b、c不共線，p滿足則點p的軌跡一定通過三角形的內心。
(變式)已知非零向量與滿足(+)·=0且·= , 則△abc為(d )
a.三邊均不相等的三角形 b.直角三角形c.等腰非等邊三角形 d.等邊三角形 (06陝西)
⑸的長度為0，是有方向的，並且方向是任意的，實數0僅僅是乙個無方向的實數.
⑹有向線段是向量的一種表示方法，並不是說向量就是有向線段.
（7）相反向量(長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。)
2．與向量運算有關的問題
⑴向量與向量相加，其和仍是乙個向量.（三角形法則和平行四邊形法則）
①當兩個向量和不共線時， 的方向與、都不相同，且||＜||＋||；
②當兩個向量和共線且同向時， 、、的方向都相同，且；
③當向量和反向時，若||＞||，與方向相同 ，且||=||-||；
若||＜||時,與方向相同，且
⑵向量與向量相減，其差仍是乙個向量.向量減法的實質是加法的逆運算.
三角形法則適用於首尾相接的向量求和；平行四邊形法則適用於共起點的向量求和。
;例2：p是三角形abc內任一點，若，則p一定在（b ）
a、內部 b、ac邊所在的直線上 c、ab邊上 d、bc邊上
例3、若，則△abc是： b.銳角△ c.鈍角△ d.等腰rt△
例4、已知向量，求的最大值。
分析：通過向量的座標運算，轉化為函式（這裡是三角）的最值問題，是通法。
解：原式=
=。當且僅當時，有最大值
評析：其實此類問題運用乙個重要的向量不等式「」就顯得簡潔明快。原式=，但要注意等號成立的條件（向量同向）。
⑶圍成一周（首尾相接）的向量（有向線段表示）的和為零向量.
如， ,（在△abc中）.(□abcd中)
⑷判定兩向量共線的注意事項：共線向量定理對空間任意兩個向量a、b(b≠0 )，a∥b存在實數λ使a=λb．
如果兩個非零向量，，使=λ（λ∈r），那麼∥；
反之，如∥，且≠0，那麼=λ.
這裡在「反之」中，沒有指出是非零向量，其原因為=0時，與λ的方向規定為平行.
⑸數量積的8個重要性質
①兩向量的夾角為0≤≤π.由於向量數量積的幾何意義是乙個向量的長度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可負、可以為零，故向量的數量積是乙個實數.
②設、都是非零向量，是單位向量，是與的夾角，則
③（∵=90°，
④在實數運算中=0=0或b=0.而在向量運算中==或=是錯誤的，故或是=0的充分而不必要條件.
⑤當與同向時= (=0,cos=1);
當與反向時， =- (=π,cos=-1)，即∥的另乙個充要條件是.當為銳角時， ＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時， ＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；
例5.如已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值範圍是______（答：或且）；
例6、已知,為相互垂直的單位向量，，。且與的夾角為銳角，求實數的取值範圍。
分析：由數量積的定義易得「」，但要注意問題的等價性。
解：由與的夾角為銳角，得有
而當即兩向量同向共線時，有得此時其夾角不為銳角。
故.評析：特別提醒的是：是銳角與不等價；同樣是鈍角與不等價。極易疏忽特例「共線」。
特殊情況有=。或===.
如果表示向量的有向線段的起點和終點的座標分別為(,),(,),則=
⑥。（因）
⑦數量積不適合乘法結合律.
如（因為與共線，而與共線）
⑧數量積的消去律不成立.
若、、是非零向量且並不能得到這是因為向量不能作除數，即是無意義的.
(6)向量b在方向上的投影︱b︱cos＝
(7)和是平面一組基底,則該平面任一向量(唯一)
特別：.＝則是三點p、a、b共線的充要條件.
注意：起點相同，係數和是1。基底一定不共線
例7、已知等差數列｛an｝的前n項和為，若，且a、b、c三點共線（該直線不過點o），則s200＝（ a）
a．50 b. 51 c.100 d.101
例8、平面直角座標系中，為座標原點，已知兩點, ,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_______（直線ab）
例9、已知點a,,b,c的座標分別是.若存在實數,使,則的值是:
a. 0 b. 1 c. 0或1 d.不確定
例10下列條件中，能確定三點不共線的是：c
a． b．
c． d．
分析：本題應知：「共線，等價於存在使且」。
(8)①在中， 為的重心，特別地為的重心；則過三角形的重心；
例11、設平面向量、、的和。如果向量、、，滿足，且順時針旋轉後與同向，其中，則（d）（06河南高考）
abcd．
②為的垂心；
③向量所在直線過的內心(的角分線所在直線)；
④的內心；(選)
⑤ s⊿aob＝;
例12、若o是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為____（答：直角三角形）；
例13、若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為___（答：2）；
例14、若點是的外心，且，則內角為____（答：）；
(9)、 p分的比為,則=,＞0內分;＜0且≠-1外分.
＝;若λ＝1 則＝(+);設p(x,y),p1(x1,y1),
p2(x2,y2)則;中點重心
說明：特別注意各點的順序，分子是起點至分點，分母是分點至終點，不能改變順序和分子分母的位置。
例15、已知a（4，-3），b（-2，6），點p在直線ab上，且，則p點的座標是（ ）（2，0），（6，-6）
(10)、點按平移得,則＝或函式按平移得函式方程為：
說明：（1）向量按向量平移，前後不變；
（2）曲線按向量平移，分兩步：ⅰ確定平移方向----與座標軸的方向一致；
ⅱ按左加右減，上加下減（上減下加）
例16、把函式的圖象按向量平移後得到的解析式是
例17、函式的圖象按向量平移後，所得函式的解析式是，則答：）
結論：已知,過的直線與交於點,則分所成的比是,若用此結論,以下兩題將變得很簡單.
例18、已知有向線段的起點p和終點q的座標分別是，若直線的方程是，直線與的延長線相交,則的取值範圍是________.
解:由得,因為直線與的延長線相交,故,解得
變式:已知點a(2,-1),b(5,3).若直線與線段相交,求的範圍.
提示: 由得:及直線過端點得
向量知識點歸納及題型總結
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