空間向量的基本概念及運算
知識要點。
1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。
（2）空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示。
2. 空間向量的運算。
定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘運算如下（如圖）。
;;運算律：⑴加法交換律：
⑵加法結合律：
⑶數乘分配律：
3. 共線向量。
（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那麼這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行於，記作。
當我們說向量、共線（或//）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。
（2）共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//存在實數λ，使＝λ。
4. 共面向量
（1）定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量。
說明：空間任意的兩向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的條件是存在實數使。
5. 空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那麼對空間任一向量，存在乙個唯一的有序實陣列，使。
若三向量不共面，我們把叫做空間的乙個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的乙個基底。
推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序實數，使。
6. 空間向量的直角座標系：
（1）空間直角座標系中的座標：
在空間直角座標系中，對空間任一點，存在唯一的有序實陣列，使，有序實陣列叫作向量在空間直角座標系中的座標，記作，叫橫座標，叫縱座標，叫豎座標。
（2）若空間的乙個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示。
（3）空間向量的直角座標運算律：
①若，，則，
，， ，， 。
②若，，則。
乙個向量在直角座標系中的座標等於表示這個向量的有向線段的終點的座標減去起點的座標。
（4）模長公式：若，，
則， （5）夾角公式：。
（6）兩點間的距離公式：若，，
則，或7. 空間向量的數量積。
（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規定，
顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。
（2）向量的模：設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：。
（3）向量的數量積：已知向量，則叫做的數量積，記作，即。
（4）空間向量數量積的性質：
①。②。③。
（5）空間向量數量積運算律：
①。②（交換律）。
③（分配律）。
例1如圖，在正方體abcd—a1b1c1d1中，e、f分別是bb1、cd的中點
（1）證明ad⊥d1f；
（2）求ae與d1f所成的角；
（3）證明面aed⊥面a1d1f
例2 稜長為2的正方體a1b1c1d1-abcd中，e、f分別是c1c和d1a1的中點，（1）求ef長度；（2）求<>；3）求點a到ef的距離
分析：一般來說，與長方體的稜或稜上的點有關的問題，建立空間直角座標系比較方便，適當建立座標系後，正確地寫出相關點的座標及向量然後進行運算即可得解
例3在三稜錐s—abc中，∠sab=∠sac=∠acb=90
，ac=2，bc=，sb=
（1）求證：sc⊥bc；
（2）求sc與ab所成角的余弦值
例4如圖正方體中，，求與所成角的余弦。
直線、平面、簡單幾何體空間角
高考要求
1掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角的概念
2會求直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角
知識點歸納
1．異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經過空間任一點作直線，所成的角的大小與點的選擇無關，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）．為了簡便，點通常取在異面直線的一條上
異面直線所成的角的範圍：
2．求異面直線所成的角的方法：（1）幾何法；（2）向量法
3．直線和平面所成角
（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和
這個平面所成的角
一直線垂直於平面，所成的角是直角
一直線平行於平面或在平面內，所成角為0角
直線和平面所成角範圍： 0，
（2）定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中最小的角
4．公式：平面的斜線a與內一直線b相交成θ角，且a與相交成1角，a在上的射影c與b相交成2角，則有
5 二面角：平面內的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的稜，每個半平面叫做二面角的面若稜為，兩個面分別為的二面角記為；
6．二面角的平面角：
（1）過二面角的稜上的一點分別在兩個半平面內作稜的兩條垂線，則叫做二面角的平面角
（2）乙個平面垂直於二面角的稜，且與兩半平面交線分別為為垂足，則也是的平面角
說明：①二面角的平面角範圍是；
②二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直
7．二面角的求法：⑴幾何法；⑵向量法
8求二面角的射影公式：，
其中各個符號的含義是：是二面角的乙個麵內圖形f的面積，是圖形f在二面角的另乙個麵內的射影，是二面角的大小
9．三種空間角的向量法計算公式：
⑴異面直線所成的角：；
⑵直線與平面(法向量)所成的角：；
⑶銳二面角：，其中為兩個面的法向量
題型講解
例1 直三稜柱a1b1c1—abc，∠bca=90°，點d1、f1分別是a1b1、a1c1的中點，bc=ca=cc1，則bd1與af1所成角的余弦值是（ ）
abc． d．
例2 正方體abcd-efgh的稜長為a，點p在ac上，q在bg上，且ap=bq=a,
⑴求直線pq與平面abcd所成的角的正切值；
⑵求直線pq與ad所成的角
例3 已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面abc的單位法向量
點評：一般情況下求法向量用待定係數法由於法向量沒規定長度，僅規定了方向，所以有乙個自由度，可把的某個座標設為1，再求另兩個座標平面法向量是垂直於平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量應有兩解
例4 如圖，在底面是直角梯形的四稜錐s-abcd中，∠abc=90°，sa⊥平面abcd，sa=ab=bc=1，ad=，求面scd與面sba所成的二面角的正切值
例5平面abcd⊥平面abef，abcd是正方形，abef是矩形，且g是ef的中點，
（1）求證平面agc⊥平面bgc；
（2）求gb與平面agc所成角正弦值；
（3）求二面角b—ac—g的大小
空間向量知識點歸納總結
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空間向量知識點總結
空間向量與立體幾何知識點總結 一 基本概念 1 空間向量 2 相反向量3 相等向量 4 共線向量5 共面向量 6 方向向量7 法向量 8 空間向量基本定理 二 空間向量的座標運算 1.向量的直角座標運算 設 則 1 2 3 r 4 2.設a，b，則 3 設，則 4.夾角公式 設 則.5 異面直線所成...