第3章空間向量與立體幾何
回顧一. 平面向量的基本概念與基本運算
①在平面內，既有大小又有方向的量叫向量
1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。
（2）空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示。
2. 空間向量的運算。
定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘運算如下（如圖）。
;;運算律：⑴加法交換律：
⑵加法結合律：
⑶數乘分配律：
3. 共線向量。
（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那麼這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行於，記作。
當我們說向量、共線（或//）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。
（2）共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//存在實數λ，使＝λ。
4. 共面向量
（1）定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量。
說明：空間任意的兩向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的條件是存在實數使。
5.平面向量的基本定理
如果是乙個平面內的兩個不共線向量，那麼對這一平面內的任一向量，有且只有一對實數使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底
5. 空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那麼對空間任一向量，存在乙個唯一的有序實陣列，使。
若三向量不共面，我們把叫做空間的乙個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的乙個基底。
推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序實數，使。
6.空間兩向量的夾角：已知兩個非零向量、，在空間任取一點o，作，（兩個向量的起點一定要相同），則叫做向量與的夾角，記作，且。
7. 空間向量的直角座標系：
1．空間直角座標系
(1)定義：以空間中兩兩垂直且相交於一點o的三條直線分別為x軸、y軸、z軸，這時就說建立了空間直角座標系oxyz，其中點o叫做座標 ，x軸、y軸、z軸叫做通過每兩個的平面叫做座標平面，分別稱為平面、 平面、 平面．
(2)畫法：在平面上畫空間直角座標系oxyz時，一般使∠xoyyoz＝900
（1）空間直角座標系中的座標：
在空間直角座標系中，對空間任一點，存在唯一的有序實陣列，使，有序實陣列叫作向量在空間直角座標系中的座標，記作，叫橫座標，叫縱座標，叫豎座標。
(2) 右手直角座標系：右手握住z軸，當右手的四指從正向x軸以90°角度轉向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向；
（3）若空間的乙個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示。
（4）空間向量的直角座標運算律：
①若，，則
，，， ，或
。②若，，則。
乙個向量在直角座標系中的座標等於表示這個向量的有向線段的終點的座標減去起點的座標。
（5）模長公式：若，，
則， （6）夾角公式：。
（7）兩點間的距離公式：若，，
則，或（8）空間線段的中點的座標：
（9）球面方程：
8. 空間向量的數量積。
（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。
（2）向量的模：設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：。
（3）向量的數量積：已知向量，則叫做的數量積，記作，即。
（4）空間向量數量積的性質：
①。②。③=，
（5）空間向量數量積運算律：
①。②（交換律）。
③（分配律）。
9、空間向量在立體幾何證明中的應用：
（1）證明，即證明，也就是證明或
（2）證明，即證明，也就是證明
（3）證明（平面）（或在麵內），即證明垂直於平面的法向量或證明與平面內的基底共面；
（4）證明，即證明平行於平面的法向量或證明垂直於平面內的兩條相交的直線所對應的向量；
（5）證明兩平面（或兩面重合），即證明兩平面的法向量平行或乙個面的法向量垂直於另乙個平面；
（6）證明兩平面，即證明兩平面的法向量垂直或乙個面的法向量在另乙個麵內。
10. 運用向量的座標運算解題的步驟：
（1）建座標系，求相關點的座標
（2）求相關向量的座標
（3）運用向量運算解題
11. 用向量方法來解決立體幾何中的空間角的問題：
（1） 兩條直線的夾角：
設直線的方向向量分別為，
兩直線,所成的角為(),=
（2） 直線與平面的夾角：
設直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，
直線與平面所成的角為(),=；
（3） 二面角：
1 方向向量法：
2 法向量法：
法向量的方向：
一進一出，二面角等於法向量夾角；
同進同出，二面角等於法向量夾角的補角
12. 利用「方向向量」與「法向量」來解決距離問題.
（1）點與直線的距離：
（2）點到平面的距離：d=.
如圖a空間一點p到平面的距離為d,已知平面的乙個法向量為,且與不共線,
分析:過p作po⊥於o,鏈結oa.
則d∵⊥,∴∥.
∴cos∠apo=|cos|.
∴d=|||cos|=.
（3）異面直線間的距離：
已知a,b是異面直線,cd為a,b的公垂線,a，b分別在直線a,b上
（4）其它距離問題：
1 平行線的距離(轉化為點到直線的距離）
2 直線與平面的距離**化為點到平面的距離）
3 平面與平面的距離**化為點到平面的距離）
（7）面積射影定理
.(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為).
空間向量知識點歸納總結
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