知識要點。
1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。
（2）空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示。
2. 空間向量的運算。
定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘運算如下（如圖）。
;;運算律：⑴加法交換律：
⑵加法結合律：
⑶數乘分配律：
3. 共線向量。
（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那麼這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行於，記作。
當我們說向量、共線（或//）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。
（2）共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//存在實數λ，使＝λ。
4. 共面向量
（1）定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量。
說明：空間任意的兩向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的條件是存在實數使。
5. 空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那麼對空間任一向量，存在乙個唯一的有序實陣列，使。
若三向量不共面，我們把叫做空間的乙個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的乙個基底。
推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序實數，使。
6. 空間向量的直角座標系：
（1）空間直角座標系中的座標：
在空間直角座標系中，對空間任一點，存在唯一的有序實陣列，使，有序實陣列叫作向量在空間直角座標系中的座標，記作，叫橫座標，叫縱座標，叫豎座標。
（2）若空間的乙個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示。
（3）空間向量的直角座標運算律：
①若，，則，
，， ，， 。
②若，，則。
乙個向量在直角座標系中的座標等於表示這個向量的有向線段的終點的座標減去起點的座標。
（4）模長公式：若，，
則， （5）夾角公式：。
（6）兩點間的距離公式：若，，
則，或7. 空間向量的數量積。
（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。
（2）向量的模：設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：。
（3）向量的數量積：已知向量，則叫做的數量積，記作，即。
（4）空間向量數量積的性質：
①。②。③。
（5）空間向量數量積運算律：
①。②（交換律）。
③（分配律）。
【典型例題】
例1. 已知平行六面體abcd－，化簡下列向量表示式，標出化簡結果的向量。
⑶； ⑷。
例2. 對空間任一點和不共線的三點，問滿足向量式：
（其中）的四點是否共面？
例3. 已知空間四邊形，其對角線，分別是對邊的中點，點**段上，且，用基底向量表示向量。
例4. 如圖，在空間四邊形中，，，，，，，求與的夾角的余弦值。
說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如易錯寫成，切記！
例5. 長方體中，，為與的交點，為與的交點，又，求長方體的高。
【模擬試題】
1. 已知空間四邊形，鏈結，設分別是的中點，化簡下列各表示式，並標出化簡結果向量：（1）；
（2）； （3）。
2. 已知平行四邊形abcd，從平面外一點引向量。
。（1）求證：四點共面；
（2）平面平面。
3. 如圖正方體中，，求與所成角的余弦。
4. 已知空間三點a（0，2，3），b（－2，1，6），c（1，－1，5）。
⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積s；
⑵若向量分別與向量垂直，且||＝，求向量的座標。
5. 已知平行六面體中，
，，求的長。
[參***]
1. 解：如圖，
（1）；
（2）。
；（3）。
2. 解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，
∵，∴共面；
（2）解：∵，又∵，
∴。所以，平面平面。
3. 解：不妨設正方體稜長為，建立空間直角座標系，
則，，，，
∴，，∴，。。
4. 分析：⑴
∴∠bac＝60°，
⑵設＝（x，y，z），則
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝（1，1，1）或＝（－1，－1，－1）。
5. 解：
所以，。
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