一對一授課教案
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上課時間： 年月日時分至時分共小時
一．知識要點。
1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不變性
2. 空間向量的運算。
定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘運算如下（如圖）。
;;運算律：⑴加法交換律：
⑵加法結合律：
⑶數乘分配律：
運算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則
3. 共線向量。
（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那麼這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行於，記作。
（2）共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//存在實數λ，使＝λ。
（3）三點共線：a、b、c三點共線<=>
<=>（4）與共線的單位向量為
4. 共面向量
（1）定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量。
說明：空間任意的兩向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的條件是存在實數使。
（3）四點共面：若a、b、c、p四點共面<=>
<=>5. 空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那麼對空間任一向量，存在乙個唯一的有序實陣列，使。
若三向量不共面，我們把叫做空間的乙個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的乙個基底。
推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序實數，使。
6. 空間向量的直角座標系：
（1）空間直角座標系中的座標：
在空間直角座標系中，對空間任一點，存在唯一的有序實陣列，使，有序實陣列叫作向量在空間直角座標系中的座標，記作，叫橫座標，叫縱座標，叫豎座標。
注：①點a（x,y,z）關於x軸的的對稱點為(x,-y,-z),關於xoy平面的對稱點為(x,y,-z).即點關於什麼軸/平面對稱，什麼座標不變，其餘的分座標均相反。
②在y軸上的點設為(0,y,0),在平面yoz中的點設為(0,y,z)
（2）若空間的乙個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示。空間中任一向量=（x,y,z）
（3）空間向量的直角座標運算律：
①若，，則，
，， ，， 。
②若，，則。
乙個向量在直角座標系中的座標等於表示這個向量的有向線段的終點的座標減去起點的座標。
③定比分點公式：若，，，則點p座標為。推導：設p（x,y,z）則,顯然，當p為ab中點時，
④，三角形重心p座標為
⑤δabc的五心：
內心p：內切圓的圓心，角平分線的交點。（單位向量）
外心p：外接圓的圓心，中垂線的交點。
垂心p：高的交點：（移項，內積為0，則垂直）
重心p：中線的交點，三等分點（中位線比）
中心：正三角形的所有心的合一。
（4）模長公式：若，，
則， （5）夾角公式：。
δabc中①<=>a為銳角②<=>a為鈍角，鈍角δ
（6）兩點間的距離公式：若，，
則，或7. 空間向量的數量積。
（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。
（2）向量的模：設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：。
（3）向量的數量積：已知向量，則叫做的數量積，記作，即。
（4）空間向量數量積的性質：
①。②。③。
（5）空間向量數量積運算律：
①。②（交換律）。
③（分配律）。
④不滿足乘法結合率：
二．空間向量與立體幾何
1．線線平行兩線的方向向量平行
1-1線面平行線的方向向量與面的法向量垂直
1-2麵麵平行兩面的法向量平行
2線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直
2-1線面垂直線與面的法向量平行
2-2麵麵垂直兩面的法向量垂直
3線線夾角（共面與異面）兩線的方向向量的夾角或夾角的補角，
3-1線面夾角：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量與面的法向量的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；再求其餘角，即是線面的夾角.
3-2麵麵夾角（二面角）：若兩面的法向量一進一出，則二面角等於兩法向量的夾角；法向量同進同出，則二面角等於法向量的夾角的補角.
4．點麵距離：求點到平面的距離： 在平面上去一點，得向量;； 計算平面的法向量;.
4-1線面距離（線面平行）：轉化為點麵距離
4-2麵麵距離（面面平行）：轉化為點麵距離
【典型例題】
1．基本運算與基本知識（）
例1. 已知平行六面體abcd－，化簡下列向量表示式，標出化簡結果的向量。
⑶； ⑷。
例2. 對空間任一點和不共線的三點，問滿足向量式：
（其中）的四點是否共面？
例3 已知空間三點a（0，2，3），b（－2，1，6），c（1，－1，5）。
⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積s；
⑵若向量分別與向量垂直，且||＝，求向量的座標。
2．基底法（如何找，轉化為基底運算）
3．座標法（如何建立空間直角座標系，找座標）
4．幾何法
例4. 如圖，在空間四邊形中，，，，，，，求與的夾角的余弦值。
說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如易錯寫成，切記！
例5. 長方體中，，為與的交點，為與的交點，又，求長方體的高。
【模擬試題】
1. 已知空間四邊形，鏈結，設分別是的中點，化簡下列各表示式，並標出化簡結果向量：（1）；
（2）； （3）。
2. 已知平行四邊形abcd，從平面外一點引向量。
。（1）求證：四點共面；
（2）平面平面。
3. 如圖正方體中，，求與所成角的余弦。
5. 已知平行六面體中，
，，求的長。
[參***]
1. 解：如圖，
（1）；
（2）。
；（3）。
2. 解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，
∵，∴共面；
（2）解：∵，又∵，
∴。所以，平面平面。
3.解：不妨設正方體稜長為，建立空間直角座標系，
則，，，，
∴，，∴，。。
4. 分析：⑴
∴∠bac＝60°，
⑵設＝（x，y，z），則
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝（1，1，1）或＝（－1，－1，－1）。
5. 解：
所以，。
空間向量與立體幾何知識點歸納總結
一 知識要點。1.空間向量的概念 在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注 1 向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。2 向量具有平移不變性 2.空間向量的運算。定義 與平面向量運算一樣，空間向量的加法 減法與數乘運算如下 如圖 運算律 加法交換律 加法結合律 數乘分配律...
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空間向量與立體幾何知識點 學生版
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