圓錐曲線與向量的綜合性問題
一、常見基本題型：
在向量與圓錐曲線相結合的題目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去尋找座標之間的數量關係，往往要和根與係數的關係結合運用。
(1) 問題的條件以向量的形式呈現，間接的考查向量幾何性質、運算性質，
例1、設，點在軸的負半軸上，點在軸上，且．
當點在軸上運動時，求點的軌跡的方程；
解：（解法一），故為的中點．
設，由點在軸的負半軸上，則
又，又，所以，點的軌跡的方程為
（解法二），故為的中點．
設，由點在軸的負半軸上，則 -
又由，故，可得
由，則有，化簡得：
所以，點的軌跡的方程為
例2、已知橢圓的方程為，它的乙個焦點與拋物線的焦點重合，離心率，過橢圓的右焦點作與座標軸不垂直的直線，交橢圓於、兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設點，且，求直線的方程；
解：（ⅰ）設橢圓的右焦點為，因為的焦點座標為，所以
因為，則，
故橢圓方程為：
（ⅱ）由（i）得，設的方程為（）
代入，得，
設則，所以直線的方程為
（2）所求問題以向量的形式呈現
例3、已知橢圓e的長軸的乙個端點是拋物線的焦點，離心率是
（1）求橢圓e的方程；
（2）過點c（—1，0），斜率為k的動直線與橢圓e相交於a、b兩點，請問x軸上是否存在點m，使為常數？若存在，求出點m的座標；若不存在，請說明理由。
解：（1）根據條件可知橢圓的焦點在x軸，
且故所求方程為即，
（2）假設存在點m符合題意，設ab：代入
得：則 要使上式與無關，則有
解得，存在點滿足題意。
例4、線段過y軸上一點，所在直線的斜率為，兩端點、 到y軸的距離之差為.
求出以y軸為對稱軸，過、、三點的拋物線方程；
過該拋物線的焦點作動弦，過、兩點分別作拋物線的切線，設其交點為，求點的軌跡方程，並求出的值.
解：(ⅰ)設所在直線方程為，拋物線方程為，
且， ，不妨設，
即 把代入得
故所求拋物線方程為
設， 則過拋物線上、兩點的切線方程分別是 ，
兩條切線的交點的座標為
設的直線方程為，代入得
故的座標為點的軌跡為
而故(3)問題的條件及待求的問題均已向量的形式呈現
例5、在直角座標系xoy中，長為的線段的兩端點c、d分別在x軸、y軸上滑動，．記點p的軌跡為曲線e．
（i）求曲線e的方程；
（ii）經過點（0，1）作直線l與曲線e相交於a、b兩點，當點 m在曲線e上時，求的值．
解：（ⅰ）設c(m，0)，d(0，n)，p(x，y)．
由＝，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，
∴得由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，
∴(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，
整理，得曲線e的方程為x2＋＝1．
（ⅱ）設a(x1，y1)，b(x2，y2)，由＝＋，知點m座標為(x1＋x2，y1＋y2)．
設直線l的方程為y＝kx＋1，代入曲線e方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
則x1＋x2＝－，x1x2
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，
由點m在曲線e上，知(x1＋x2)2＋＝1，
即＋＝1，解得k2＝2
這時x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(x2＋x2)＋1＝－，
(x＋y)(x＋y)＝(2－x)(2－x)＝4－2(x＋x)＋(x1x2)2
＝4－2[(x1＋x2)2－2x1x2]＋(x1x2)2＝，
cos二、針對性練習
1. 已知圓m：及定點，點
p是圓m上的動點，點q在np上，點g在mp上，
且滿足（1）求點g的軌跡c的方程；
（2）過點k（2，0）作直線與曲線c交於a、b兩點，
o是座標原點，設,是否存在這樣的直線使四邊形oasb的對角
線相等？若存在，求出直線的方程； 若不存在，說明理由.
解：（1）由為pn的中點，且是pn的中垂線，
點g的軌跡是以m、n為焦點的橢圓，又
（2） ∵.四邊形oasb為平行四邊行，
假設存在直線1，使四邊形oasb為矩形
若1的斜率不存在，則1的方程為
由＞0.
這與相矛盾， ∴1的斜率存在.
設直線1的方程
化簡得：
∴由∴∴存在直線1：或滿足條件.
二、針對性練習
1.已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線於,
（）兩點，且．
（1）求該拋物線的方程；
（2）為座標原點，為拋物線上一點，若，求的值．
解：（1）直線ab的方程是,與聯立，
消去，得，所以，
由拋物線定義得：，所以p=4，
拋物線方程為：
（2）由p=4，化簡得，
從而,從而a(1,),b(4,)
設=， 又因為，即8（4），
即，解得
2、在平面直角座標系內已知兩點、，若將動點的橫座標保持不變， 縱座標擴大到原來的倍後得到點，且滿足.
（ⅰ）求動點所在曲線的方程；
（ⅱ）過點作斜率為的直線交曲線於、兩點，且， 又點關於原點的對稱點為點，試問、、、四點是否共圓？若共圓，求出圓心座標和半徑；若不共圓，請說明理由.
解（ⅰ）設點的座標為，則點的座標為，
依據題意，有
動點所在曲線的方程是
（ⅱ）因直線過點，且斜率為，故有
聯立方程組，消去，得
設、，可得，於是.
又，得即
而點與點關於原點對稱，於是，可得點
若線段、的中垂線分別為和，，則有
聯立方程組，解得和的交點為
因此，可算得
所以、、、四點共圓，且圓心座標為半徑為
2019屆高考數學考前歸納總結複習題
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