圓錐曲線與向量的綜合性問題
一、常見基本題型:
在向量與圓錐曲線相結合的題目中,主要是利用向量的相等、平行、垂直去尋找座標之間的數量關係,往往要和根與係數的關係結合運用。
(1) 問題的條件以向量的形式呈現,間接的考查向量幾何性質、運算性質,
例1、設,點在軸的負半軸上,點在軸上,且.
當點在軸上運動時,求點的軌跡的方程;
解:(解法一),故為的中點.
設,由點在軸的負半軸上,則
又,又,所以,點的軌跡的方程為
(解法二),故為的中點.
設,由點在軸的負半軸上,則 -
又由,故,可得
由,則有,化簡得:
所以,點的軌跡的方程為
例2、已知橢圓的方程為,它的乙個焦點與拋物線的焦點重合,離心率,過橢圓的右焦點作與座標軸不垂直的直線,交橢圓於、兩點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設點,且,求直線的方程;
解:(ⅰ)設橢圓的右焦點為,因為的焦點座標為,所以
因為,則,
故橢圓方程為:
(ⅱ)由(i)得,設的方程為()
代入,得,
設則,所以直線的方程為
(2)所求問題以向量的形式呈現
例3、已知橢圓e的長軸的乙個端點是拋物線的焦點,離心率是
(1)求橢圓e的方程;
(2)過點c(—1,0),斜率為k的動直線與橢圓e相交於a、b兩點,請問x軸上是否存在點m,使為常數?若存在,求出點m的座標;若不存在,請說明理由。
解:(1)根據條件可知橢圓的焦點在x軸,
且故所求方程為即,
(2)假設存在點m符合題意,設ab:代入
得:則 要使上式與無關,則有
解得,存在點滿足題意。
例4、線段過y軸上一點,所在直線的斜率為,兩端點、 到y軸的距離之差為.
求出以y軸為對稱軸,過、、三點的拋物線方程;
過該拋物線的焦點作動弦,過、兩點分別作拋物線的切線,設其交點為,求點的軌跡方程,並求出的值.
解:(ⅰ)設所在直線方程為,拋物線方程為,
且, ,不妨設,
即 把代入得
故所求拋物線方程為
設, 則過拋物線上、兩點的切線方程分別是 ,
兩條切線的交點的座標為
設的直線方程為,代入得
故的座標為點的軌跡為
而故(3)問題的條件及待求的問題均已向量的形式呈現
例5、在直角座標系xoy中,長為的線段的兩端點c、d分別在x軸、y軸上滑動,.記點p的軌跡為曲線e.
(i)求曲線e的方程;
(ii)經過點(0,1)作直線l與曲線e相交於a、b兩點,當點 m在曲線e上時,求的值.
解:(ⅰ)設c(m,0),d(0,n),p(x,y).
由=,得(x-m,y)=(-x,n-y),
∴得由||=+1,得m2+n2=(+1)2,
∴(+1)2x2+y2=(+1)2,
整理,得曲線e的方程為x2+=1.
(ⅱ)設a(x1,y1),b(x2,y2),由=+,知點m座標為(x1+x2,y1+y2).
設直線l的方程為y=kx+1,代入曲線e方程,得(k2+2)x2+2kx-1=0,
則x1+x2=-,x1x2
y1+y2=k(x1+x2)+2=,
由點m在曲線e上,知(x1+x2)2+=1,
即+=1,解得k2=2
這時x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k(x2+x2)+1=-,
(x+y)(x+y)=(2-x)(2-x)=4-2(x+x)+(x1x2)2
=4-2[(x1+x2)2-2x1x2]+(x1x2)2=,
cos二、針對性練習
1. 已知圓m:及定點,點
p是圓m上的動點,點q在np上,點g在mp上,
且滿足(1)求點g的軌跡c的方程;
(2)過點k(2,0)作直線與曲線c交於a、b兩點,
o是座標原點,設,是否存在這樣的直線使四邊形oasb的對角
線相等?若存在,求出直線的方程; 若不存在,說明理由.
解:(1)由為pn的中點,且是pn的中垂線,
點g的軌跡是以m、n為焦點的橢圓,又
(2) ∵.四邊形oasb為平行四邊行,
假設存在直線1,使四邊形oasb為矩形
若1的斜率不存在,則1的方程為
由>0.
這與相矛盾, ∴1的斜率存在.
設直線1的方程
化簡得:
∴由∴∴存在直線1:或滿足條件.
二、針對性練習
1.已知過拋物線的焦點,斜率為的直線交拋物線於,
()兩點,且.
(1)求該拋物線的方程;
(2)為座標原點,為拋物線上一點,若,求的值.
解:(1)直線ab的方程是,與聯立,
消去,得,所以,
由拋物線定義得:,所以p=4,
拋物線方程為:
(2)由p=4,化簡得,
從而,從而a(1,),b(4,)
設=, 又因為,即8(4),
即,解得
2、在平面直角座標系內已知兩點、,若將動點的橫座標保持不變, 縱座標擴大到原來的倍後得到點,且滿足.
(ⅰ)求動點所在曲線的方程;
(ⅱ)過點作斜率為的直線交曲線於、兩點,且, 又點關於原點的對稱點為點,試問、、、四點是否共圓?若共圓,求出圓心座標和半徑;若不共圓,請說明理由.
解(ⅰ)設點的座標為,則點的座標為,
依據題意,有
動點所在曲線的方程是
(ⅱ)因直線過點,且斜率為,故有
聯立方程組,消去,得
設、,可得,於是.
又,得即
而點與點關於原點對稱,於是,可得點
若線段、的中垂線分別為和,,則有
聯立方程組,解得和的交點為
因此,可算得
所以、、、四點共圓,且圓心座標為半徑為
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