六、向量
一、基本概念：
（1）向量的定義叫做向量，可用字母表示，如： ；也可用向量的有向線段的起點和終點字母表示，如： ；
（2）向量的兩個要素其中向量的大小又稱為 ；記為： ；
（3）向量與數量的區別：向量不同於數量，它是一種新的量，數量是只有大小的量，其大小可以用正數、負數或0來表示；它是乙個代數量，可以進行各種代數運算；數量之間可以進行大小比較，「大於」、「小於」的概念對數量是適用的。向量是既有大小又有方向的量；向量的模是正數或0，是可以進行大小比較的；由於方向不能比較大小，因此「大於」、「小於」對向量來說是沒有意義的。
（4）特殊形式的向量：
①零向量記為： ；方向為規定：零向量與任一向量
②單位向量
③自由向量：乙個向量只要不改變它的大小和方向，它的起點和終點可以任意平行移動的向量，叫做自由向量(本書研究的都是自由向量)．
④平行向量叫做平行向量(也稱為共線向量)；向量與向量平行，記作： ；
⑤相等向量叫做相等向量；向量與向量相等，記作： ；
注：①零向量與零向量相等；
②任意兩個相等的非零向量，都可以用一條有向線段表示，並且與有向線段的起點無關。
③兩個向量相等是乙個很重要的概念，從幾何意義上看，就是這兩個向量的長度相等且方向相同；從代數表示式考慮，就是它們對應的係數相等；對於用座標表示的向量來說，就是這兩個向量的座標相等，這一點在解題中有很重要的作用。
⑥相反向量叫做相反向量，向量與向量相反，記作： ；
二、向量的表示法
（1）幾何表示法：用有向線段表示，如：；
（2）字母表示法：用乙個小寫字母表示，如：；
注意：解題時，向量中的箭頭不可省。
（3）座標表示法：在直角座標系內，分別取的兩個單位自量作基底，則對任一向量有且只有一對實數，使，就把叫做向量的(直角)座標，記作
注意：①叫做在軸上的座標，叫做在軸上的座標。
②；；；
三、向量的運算：
（1）向量的加法：
①向量法：三角形法則，平行四邊形法則
②座標法：若，則；
③重要結論：
ⅰ圍成一周順次始終相結的向量的和為；
ⅱ當兩向量平行時，平行四邊形法不適用，可用三角形法則。
（2）向量的減法
①向量法：三角形法則、平行四邊形法
②座標法：若，則；
③重要結論：；；；
④從幾何圖形的角度理解：
注意：若將變為要比較絕對值的大小，且；若將變為要比較的模的大小，且；
（3）實數與向量的積(數乘)
①定義：一般地，實數與向量的積是乙個向量，記作，它的長度和方向規定如下：
ⅰ、ⅱ、當時，的方向與的方向相同，當時，的方向與的方向相反。
②座標法：若，則；
③運算律：設為實數，為向量：
結合律：；第一分配律：；第二分配律：；
（4）平面向量的數量積
①數量積：已知兩個非零向量和，它們的夾角為，則數量叫做和的數量積(或內積)，記作：；
注意：ⅰ、夾角的範圍：；其中當時；當時；當時；
當兩個向量的夾角是銳角時，它們的數量積大於0；
當兩個向量的夾角是鈍角時，它們的數量積小於0；
零向量與任何向量的數量積等於0。
ⅱ、投影：叫做向量在方向上的投影。
②座標法運算：若，則；
③運算律：交換律：；結合律：；
分配律：； 注意：
④重要性質：
ⅰ、設都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，
則：；ⅱ、；
ⅲ、當與同向時，；當與反向時，；
特別是：，或
ⅳ、向量的夾角公式：；
ⅴ、四、定理與公式：
（1）平面向量基本定理(也叫做平面向量分解定理)：
如果和是同一平面內的兩個不共線向量，那麼該平面內任一向量，只有一對實數，使；我們把不共線的向量和叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。
（2）兩個向量平行的充要條件：
設，為實數
①向量式：；②座標式：；
（3）兩個向量垂直的充要條件：
設①向量式：；②座標式：；
（4）兩點間距離公式：
設，則；
如：求函式的最小值。
（5）線段的定比分點公式：
設，，，
①向量式：；
當時，中點對應向量公式；
②座標式：中點對應向量公式；當時，中點座標公式；
如：已知直線及兩點當與線段相交時求的取值範圍。（還可以從斜率的角度，通過數形結合解題）
注意：①要分清內分點和外分點
當分點**段上時，點叫的內分點，這時值為；
當分點**段或的延長線時，點叫外分點，值為；
點在延長線上時，這時值為；
點在延長線上時，這時值為；
②不能寫成（沒有定義兩向量的除法），有時可寫成；
③三角形重心公式：其中、、為三角形三頂點的座標。
（6）平移公式：
平移：設是座標平面上的乙個圖形，將上所有點按照同一方向，移動同長度，得到圖形，這個過程就是圖形的平移。
平移公式：是圖形的任意一點，按照平移後圖形上的對應點為，則；（注：）
注意：用平移公式，求平移後的解析式的一般步驟：①設平移後圖形的任意一點，②把平移公式變形為，③代入原解析式中，得到了平移後的解析式。
（此法在函式平移變換和解幾的求軌跡方程中得以充分的體現）
五、運用向量證明平面幾何問題：
（1）由平面向量的基本定理可知：平面的任意向量都可用兩個基向量（不共向）來表示；這樣在解題的一開始，設出兩個不公線的向量，其他所有涉及的向量用這兩個基向量來表示；
（2）從要證明的結論出發，充分挖掘向量將的幾何關係：
①垂直關係；②平行關係（常隱含於條件中，如：有三個以上的點共線）；③角的關係：用向量夾角公式。
六、向量中常見問題的處理：
（1）；；
（2）；；
（3）**段上或三點共線；
（4）；
（5）與垂直；（思考：其幾何含義）
（6）；（思考：其幾何含義）
（7）理解；；；
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