2012高考數學複習詳細資料——向量
知識清單
一、向量的有關概念
1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的長度).
2.向量的表示方法:
⑴字母表示法:如等.
⑵幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如,等.
⑶座標表示法:在平面直角座標系中,設向量的起點o為在座標原點,終點a座標為,則稱為的座標,記為=.
注:向量既有代數特徵,又有幾何特徵,它是數形兼備的好工具.
3.相等向量:長度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前後的向量相等.兩向量與相等,記為.
注:向量不能比較大小,因為方向沒有大小.
4.零向量:長度為零的向量叫零向量.零向量只有乙個,其方向是任意的.
5.單位向量:長度等於1個單位的向量.單位向量有無數個,每乙個方向都有乙個單位向量.
6.共線向量:方向相同或相反的非零向量,叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規定:與任一向量共線.
注:共線向量又稱為平行向量.
7.相反向量: 長度相等且方向相反的向量.
二、向量的運算
(一)運算定義
①向量的加減法，②實數與向量的乘積，③兩個向量的數量積,這些運算的定義都是 「自然的」，它們都有明顯的物理學的意義及幾何意義.
其中向量的加減法運算結果仍是向量，兩個向量數量積運算結果是數量。研究這些運算,發現它們有很好地運算性質,這些運算性質為我們用向量研究問題奠定了基礎,向量確實是乙個好工具.特別是向量可以用座標表示,且可以用座標來運算,向量運算問題可以完全座標化.
刻劃每一種運算都可以有三種表現形式：圖形、符號、座標語言。主要內容列表如下：
(二)運算律
加法：① (交換律結合律)
實數與向量的乘積：①; ②;③
兩個向量的數量積
注：根據向量運算律可知，兩個向量之間的線性運算滿足實數多項式乘積的運算法則，正確遷移實數的運算性質可以簡化向量的運算，
例如(±)2=
(三)運算性質及重要結論
⑴平面向量基本定理:如果是同一平面內兩個不共線的向量,那麼對於這個平面內任一向量,有且只有一對實數,使，稱為的線性組合。
①其中叫做表示這一平面內所有向量的基底;
②平面內任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和,並且這種分解是唯一的.
這說明如果且,那麼.
③當基底是兩個互相垂直的單位向量時,就建立了平面直角座標系,因此平面向量基本定理實際上是平面向量座標表示的基礎.
向量座標與點座標的關係：當向量起點在原點時，定義向量座標為終點座標，
即若a(x，y)，則=（x,y）；當向量起點不在原點時，向量座標為終點座標減去起點座標，即若a（x1,y1），b（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)
⑵兩個向量平行的充要條件
符號語言：
座標語言為：設非零向量,則∥ (x1,y1)=λ(x2,y2)，
即,或x1y2-x2y1=0, 在這裡,實數λ是唯一存在的,當與同向時,λ>0；當與異向時,λ<0。|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當,確定時，λ的符號與大小就確定了.
這就是實數乘向量中λ的幾何意義。
⑶兩個向量垂直的充要條件
符號語言：
座標語言：設非零向量，則
⑷兩個向量數量積的重要性質：
①即(求線段的長度);
② (垂直的判斷);
③(求角度)。
以上結論可以(從向量角度)有效地分析有關垂直、長度、角度等問題,由此可以看到向量知識的重要價值.
注:①兩向量,的數量積運算結果是乙個數(其中),這個數的大小與兩個向量的長度及其夾角的余弦有關.
②叫做向量在方向上的投影（如圖）.
數量積的幾何意義是數量積等於的模與在方向上的投影的積.
③如果, ,則=,
∴,這就是平面內兩點間的距離公式.
課前預習
1．在中，（ ）
2.平面內三點,若∥，則x的值為( )
(a)-5b)-1c)1d)5
3. 設，，是任意的非零平面向量，且相互不共線，則：
①(·) (·)=0<||
③(·) (·)不與垂直 ④(3+2)·(32)=9||2- 4|2中，
真命題是( )(a)①② (b)②③ (cd)②④
4. △oab中若=，t∈r，則點p在( )
(a)∠aob平分線所在直線上 (b)線段ab中垂線上
(c)ab邊所在直線上d)ab邊的中線上
5. 正方形對角線交點為m，座標原點o不在正方形內部，且=（0，3），=（4，0），則=( )
(a)（） (b)（） (c)（7，4） (d)（）
6.已知,則實數x=_______.
7.已知則與的夾角的余弦值是_____.
8．在△中, , ,若,則
9. 已知的三個頂點分別為求的大小.
10. 已知△abc中，a（2，-1），b（3，2），c（-3，-1），bc邊上的高為ad，求點d和向量座標。
11.在△oab的邊oa、ob上分別取點m、n，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，設線段an與bm交於點p，記=， =，用，表示向量.
典型例題
一、平面向量的實際背景與基本概念
eg1.如圖1，設o是正六邊形的中心，分別寫出圖中與、、相等的向量。
變式1：如圖1，設o是正六邊形的中心，分別寫出
圖中與、共線的向量。
解：變式2：如圖2，設o是正六邊形的中心，分別寫出圖中與
的模相等的向量以及方向相同的向量。
解：二、平面向量的線性運算
eg2.如圖，在平行四邊形abcd中， a ， b ，
你能用a，b表示向量，嗎？
變式1：如圖，在五邊形abcde中， a ， b ，
c ， d ，試用a ，b ， c ， d表示向量和.
變式2：如圖，在平行四邊形abcd中，若， a ， b
則下列各表述是正確的為（ ）
a． b．
c． a + b d． (a + b)
變式3：已知=a， =b, =c, =d, 且四邊形abcd為平行四邊形，則（ ）
a. a+b+c+d=0b. a－b+c－d=0
c. a+b－c－d=0d. a－b－c+d=0
變式4：在四邊形abcd中，若，則此四邊形是( )
a．平行四邊形 b．菱形 c．梯形 d．矩形
變式5：已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(a－b)垂直的
a．充分但不必要條件 b．必要但不充分條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
變式6：在四邊形abcd中， =a+2b， =－4a－b， =－5a－3b，其中a、b不共線，則四邊形abcd為（ ）
a.平行四邊形b.矩形c.梯形d.菱形
變式7：已知菱形abcd，點p在對角線ac上（不包括端點a、c），則等（ ）
a.λ(+),λ∈(0,1b.λ(+),λ∈(0,)
c.λ(－),λ∈(0,1d.λ(),λ∈(0,)
變式8：已知d、e、f分別是△abc的邊bc、ca、ab的中點，且=， =，
=,則下列各式
④++=其中正確的等式的個數為（ ）
a.1b.2c.3d.4
eg3．如圖，已知任意兩個非零向量a 、b ，試作a + b， a + 2b，
a + 3b，你能判斷a、b、c三點之間的位置關係嗎？為什麼？
變式1：已知a + 2b， 2a + 4b， 3a + 6b
(其中a 、b是兩個任意非零向量) ，證明：a、b、c三點共線．
證明：∵ a + 2b， 2a + 4b，
∴ 所以，a、b、c三點共線．
變式2：已知點a、b、c在同一直線上，並且a + b， a + 2b， a + 3b (其中a 、b是兩個任意非零向量) ，試求m、n之間的關係．
eg4.已知四邊形abcd，點e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da的中點，求證：
變式1：已知任意四邊形abcd的邊ad和bc的中點分別為e、f，
求證：.
三、平面向量的基本定理及座標表示
eg4.已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a // b ，求 y ．
變式1：與向量a = (12，5) 平行的單位向量為（ ）
ab．c． 或 d． 或
變式2：已知a，b，當a+2b與2a－b共線時，值為 （ ）
a．1b．2 c． d．
變式3：已知a(0,3) 、b(2,0) 、c(－1,3) 與方向相反的單位向量是( )
a．(0,1) b．(0,－1c． (－1,1d．(1,－1)
變式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) ．試問：當k為何實數時， ka－b與a+3b平行, 平行時它們是同向還是反向？
eg5.設點p是線段上的一點，、的座標分別為，．
(1) 當點p是線段上的中點時，求點p的座標；
(2) 當點p是線段的乙個三等分點時，求p的座標
變式1：已知兩點，，，則p點座標是 （ ）
a． b． c． d．
變式2：如圖，設點p、q是線段ab的三等分點，若＝a，
＝b，則用a、b表示)
四、平面向量的數量積
2019高考數學複習詳細向量
知識清單 一 向量的有關概念 1.向量 既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模 也就是用來表示向量的有向線段的長度 2.向量的表示方法 字母表示法 如等.幾何表示法 用一條有向線段表示向量.如,等.座標表示法 在平面直角座標系中,設向量的起點o為在座標原點,終點a座標為,則稱為的座標,記...
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平面向量 一 選擇題 1 在中,則的值為 a 20 b c d 錯誤分析 錯誤認為,從而出錯.答案 b 略解 由題意可知,故 2 關於非零向量和，有下列四個命題 1 的充要條件是 和的方向相同 2 的充要條件是 和的方向相反 3 的充要條件是 和有相等的模 4 的充要條件是 和的方向相同 其中真命題...
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