一、 知識清單：
1、函式的單調區間可以是整個定義域，也可以是定義域的一部分. 對於具體的函式來說可能有單調區間，也可能沒有單調區間，如果函式在區間（0，1）上為減函式，在區間（1，2）上為減函式，就不能說函式在上為減函式.
2、單調性：研究函式的單調性應結合函式單調區間，單調區間應是定義域的子集。
判斷函式單調性的方法：
1 定義法（作差比較和作商比較）；
2 圖象法；
3 單調性的運算性質（實質上是不等式性質）；
4 復合函式單調性判斷法則;
5 導數法（適用於多項式函式）
注：函式單調性是函式性質中最活躍的性質，它的運用主要體現在不等式方面，如比較大小，解抽象函式不等式等。
3.偶函式
⑴偶函式：.設（）為偶函式上一點，則（）也是圖象上一點.
⑵偶函式的判定：兩個條件同時滿足
1 定義域一定要關於軸對稱，例如：在上不是偶函式.
2 滿足，或，若時，.
4. 奇函式
⑴奇函式：.設（）為奇函式上一點，則（）也是圖象上一點.
⑵奇函式的判定：兩個條件同時滿足①定義域一定要關於原點對稱，例如：在上不是奇函式.②滿足，或，若時，.
注:函式定義域關於原點對稱是判斷函式奇偶性的必要條件，在利用定義判斷時，應在化簡解析式後進行，同時靈活運用定義域的變形，如，（f(x)≠0）
5．反函式
定義：只有滿足，函式才有反函式. 例如：無反函式.函式的反函式記為，習慣上記為.
.求反函式的步驟:
①將看成關於的方程,解出，若有兩解，要注意解的選擇；
將互換，得；
③寫出反函式的定義域（即的值域）。
.在同一座標系，函式與它的反函式的圖象關於對稱.
[注]：一般地，的反函式.是先的反函式，在左移三個單位.
是先左移三個單位，在的反函式.
6函式性質之間的關係
.⑴單調函式必有反函式，但並非反函式存在時一定是單調的.因此，所有偶函式不存在反函式.
⑵如果乙個函式有反函式且為奇函式，那麼它的反函式也為奇函式.
⑶設函式y = f（x）定義域，值域分別為x、y. 如果y = f（x）在x上是增（減）函式，那麼反函式在y上一定是增（減）函式，即互為反函式的兩個函式增減性相同.
⑷一般地，如果函式有反函式，且，那麼. 這就是說點（）在函式圖象上，那麼點（）在函式的圖象上.
注：1.函式f(x)的反函式f-1(x)的性質與f(x)性質緊密相連，如定義域、值域互換，具有相同的單調性等，把反函式f-1(x)的問題化歸為函式f(x)的問題是處理反函式問題的重要思想。
2.設函式f(x)定義域為a，值域為c，則① f-1[f(x)]=x,(xa)②f[f-1(x)]=x,(xc)
課前練習
1.討論函式的單調性。
2．函式在定義域上的單調性為( )
（a）在上是增函式，在上是增函式;（b）減函式;
（c）在上是減函式，在上是減函式;（d）增函式
3．已知函式f (x), g (x)在 r上是增函式，求證：f [g (x)]在 r上也是增函式。
4．判斷下列函式的奇偶性：
①,②,③
5．求函式（1≤ x < 0）的反函式
6．已知，函式y=g(x)圖象與的圖象關於直線y= x對稱，求g(11)的值。
7．若函式的圖象經過，那麼的反函式圖象經過點( )
(ab) (cd)
8．設，則________.
9．函式與互為反函式的充要條件是
10．若點既在函式的圖象上，又在它的反函式的圖象上，則=__， =___
典型例題
eg1．已知函式，，且
（1） 求函式定義域
（2） 判斷函式的奇偶性，並說明理由.
變式1：已知是偶函式，定義域為.則 ，
變式2：函式的圖象關於
a．軸對稱 b．軸對稱 c．原點對稱 d．直線對稱
變式3：若函式是奇函式，則
變式4：函式的圖象關於直線對稱.則
變式5：函式在上的單調遞增區間為
eg2、已知函式是偶函式，而且在上是減函式，判斷在上是增函式還是減函式，並證明你的判斷.
變式1：下列函式中，在其定義域內既是奇函式又是減函式的是
a. b. cd.
變式2：函式是r上的偶函式，且在上是增函式，若,則實數的取值範圍是 （ ）
a. b. c. d.或
變式3：已知定義域為的函式，對任意，存在正數，都有成立，則稱函式是上的「有界函式」。已知下列函式： ； ； ；
，其中是「有界函式」的是______（寫出所有滿足要求的函式的符號）．
設計意圖：考察函式奇偶性與單調性的關係
eg3、已知函式，求，，的值
變式1：設則
變式2：已知是上的減函式，那麼的取值範圍是
a. b. cd.
變式3：設函式f（x）= 則使得f（x）≥1的自變數x的取值範圍為
a.（－∞，－2］∪［0，10b.（－∞，－2］∪［0，1］
c.（－∞，－2］∪［1，10d.［－2，0］∪［1，10］
eg4、試著舉幾個滿足「對定義域內任意實數，，都有」的函式例子.
變式1：設函式f（x）的定義域是n*，且，，則f（25
變式2：設是定義在r上的偶函式，其圖象關於直線對稱，對任意，都有
（1）設，求
（2）證明是週期函式.
變式3：設函式定義在r上，對任意實數m、n，恒有且當
（1）求證：f（0）=1，且當x＜0時，f（x）＞1；
（2）求證：f（x）在r上遞減；
（3）設集合a=，b=，若a∩b=，求a的取值範圍.
變式4：已知函式．
（1）求的單調減區間；
（2）若在區間上的最小值為，求的值．
eg5、已知函式.
(ⅰ) 求函式的單調區間；
(ⅱ) 當a >0時，求函式在上最小值.
變式1：函式的導函式
變式2： 函式內的交點為p，它們在點p處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積為
變式3：已知函式（）的圖象為曲線．
（1）求過曲線上任意一點的切線斜率的取值範圍；
（2）若在曲線上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線的切點的橫
座標的取值範圍；
實戰演練
1、，是定義在r上的函式，，則「，均為偶函式」是「為偶函式」的
a．充要條件b．充分而不必要的條件
c．必要而不充分的條件 d．既不充分也不必要的條件
2、在r上定義的函式是偶函式，且.若在區間上是減函式，則( )
a.在區間上是增函式，在區間上是減函式
b.在區間上是增函式，在區間上是減函式
c.在區間上是減函式，在區間上是增函式
d.在區間上是減函式，在區間上是增函式
3、函式的反函式是（ ）
a． b． c． d．
4、設是定義在上的奇函式，且當時，，若對任意的，不等式恆成立，則實數的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
5、設，則使函式的定義域為r且為奇函式的所有值為
（a）（b）（c） （d）
6、定義在r上的函式f (x)既是奇函式,又是週期函式,t是它的乙個正週期.若將方程f (x)=0在閉區[-t,t]上的根的個數記為n,則n可能為
(a)0 (b)1 (c)3 (d)5
7、函式的反函式的定義域為（ ）
8、對於函式①，②，③，判斷如下三個命題的真假：
命題甲：是偶函式；
命題乙：在上是減函式，在上是增函式；
命題丙：在上是增函式．
能使命題甲、乙、丙均為真的所有函式的序號是（ ）
9、設函式定義在實數集上，它的影象關於直線對稱，且當時，，則有（b）
ab．cd．10、已知f(x)為r上的減函式，則滿足f(||)a （－1，1） b（0，1） c （－1，0）（0，1） d（－，－1）（1，＋）
11、函式的圖象和函式的圖象的交點個數是（ ）
a．4 b．3 c．2 d．1
12、已知定義域為r的函式f(x)在上為減函式，且函式y=f(x+8)函式為偶函式，則（ ）
a.f(6)>f(7) b.f(6)>f(9) c.f(7)>f(9) d.f(7)>f(10)
13、若函式的反函式圖象過點，則函式的圖象必過點（ ）
a． bc． d．
14、（函式的單調增區間為（ ）
a． b． c． d．
15、函式與在同一直角座標系下的圖象大致是（ ）
16、若函式f(x)的反函式為f,則函式f(x-1)與f的圖象可能是
二、填空
1、函式的圖象與函式的圖象關於直線對稱，則
2、已知函式在區間上的最大值與最小值分別為，則 .
3、函式的反函式
4、設函式，則其反函式的定義域為
5、已知函式的反函式是，則
6、設函式為奇函式，則 ．
7、（函式的最小值為
8、已知函式為奇函式，若，則 ．
9、若函式（是自然對數的底數）的最大值是，且是偶函式，則________．
三、解答題
1、已知函式
（1）判斷函式的奇偶性；
（2）若在區間是增函式，求實數的取值範圍。
2、已知函式(x>0)在x = 1處取得極值，其中a,b,c為常數。
（1）試確定a,b的值；
（2）討論函式f(x)的單調區間；
（3）若對任意x>0，不等式恆成立，求c的取值範圍。
3、設，對任意實數，記．
（）求函式的單調區間；
（）求證：（ⅰ）當時， 對任意正實數成立；
（ⅱ）有且僅有乙個正實數，使得對任意正實數成立．
4、已知函式，其中．
（ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）當時，求函式的單調區間與極值．
5、設函式，其中．
（ⅰ）當時，判斷函式在定義域上的單調性；
（ⅱ）求函式的極值點；
（ⅲ）證明對任意的正整數，不等式都成立．
6、已知定義在正實數集上的函式，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．
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