一、 知識清單
1．對映：設非空數集a，b，若對集合a中任一元素a，在集合b中有唯一元素b與之對應，則稱從a到b的對應為對映，記為f：a→b，f表示對應法則，b=f(a)。
若a中不同元素的象也不同，且b中每乙個元素都有原象與之對應,則稱從a到b的對映為一一對映。
2．函式定義：函式就是定義在非空數集a，b上的對映，此時稱數集a為定義域，象集c=為值域。
3．函式的三要素：定義域，值域，對應法則. 從邏輯上講，定義域，對應法則決定了值域，是兩個最基本的因素。
4．函式定義域的求法：列出使函式有意義的自變數的不等關係式，求解即可求得函式的定義域.常涉及到的依據為：
①分母不為0；②偶次根式中被開方數不小於0；③對數的真數大於0，底數大於零且不等於1；④零指數冪的底數不等於零；⑤實際問題要考慮實際意義等.
注:求函式定義域是通過解關於自變數的不等式（組）來實現的。函式定義域是研究函式性質的基礎和前提。函式對應法則通常表現為**，解析式和圖象。
5．函式值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判別式法；③反函式法（反解法）；④換元法（代數換元法）；⑤不等式法；⑥單調函式法.
注:⑴求函式值域是函式中常見問題，在初等數學範圍內，直接法的途徑有單調性，基本不等式及幾何意義，間接法的途徑為函式與方程的思想，表現為△法，反函式法等，在高等數學範圍內，用導數法求某些函式最值（極值）更加方便.
⑵常用函式的值域，這是求其他複雜函式值域的基礎。
1 函式的值域為r;
2 二次函式
當時值域是,當時值域是]；
3 反比例函式的值域為；
4 指數函式的值域為；
5 對數函式的值域為r；
6 函式的值域為[-1，1]；
7 函式,的值域為r；
二、 課前練習
1.若，,則到的對映有個，到的對映有個；若，, 則到的一一對映有個。
2. 設集合a和集合b都是自然數集合n，對映把集合a中的元素對映到集合b中的元素，則在對映下，象20的原象是 ( )
（a）2 （b）3 （c）4 （d）5
3.已知扇形的周長為20，半徑為，扇形面積為，則 ；定義域為
4. 求函式的定義域.
5. 若函式的定義域為[1,1]，求函式的定義域。
6.已知(x0), 求.
7. 求函式的值域.
8. 下列函式中值域為的是( )
(a) (b) (c) (d)
三、 典型例題
eg1、a=｛1，2，3，4，5｝，b=｛6，7，8｝從集合a到b的對映中滿足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的對映有個。
變式1、若f :y=3x+1是從集合a=到集合b=的乙個對映，求自然數a、k的值及集合a、b.
變式2、集合m=，n=，對映f:m→n滿足f（a）+f（b）+f（c）=0，那麼對映f:m→n的個數是多少？
eg2、設函式，，求函式的定義域.
變式1： 函式的定義域是
ab. c. d.
變式2：設，則的定義域為
a. b. c. d.
函式值域
求函式值域是函式中的重要問題之一，在後續課程的學習中也有許多應用，求函式的值域要涉及多種數學思想方法和函式、方程、不等式等到相關知識，求函式值域是函式學習的乙個難點，為此本文介紹幾種常見的求法．
一、用非負數的性質
例１ 求下列函式的值域：y=-3x2+2;
變式：y=5+2 (x≥-1).
二． 分離常數法
對某些分式函式，可通過分離常數法，化成部分分式來求值域．
例２ 求下列函式的值域：y=
變式2、y=.
三、利用函式單調性
已知函式在某區間上具有單調性，那麼利用單調性求值域是一種簡單的方法．
例３ 求函式y=3x-的值域.
四、利用判別式
特殊地，對於可以化為關於x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0的函式y=f(x)，可利用．
例4 求函式y =的最值．
變式：；
五、利用數形結合
數形結合是解數學問題的重要思想方法之一，求函式值域時其運用也不例外．
例5 若（x+）(y-)=0,求x-y的最大、最小值．
變式：函式的值域
六、利用換元法求值域
有時直接求函式值域有困難，我們可通過換元法轉化為容易求值域的問題考慮．
例6 求函式y=2x-5+的值域．
變式：求函式的值域
七、利用反函式求值域
因函式y=f(x)的值域就是反函式y=f-1(x)的定義域，故某些時候可用此法求反函式的值域．
例7 求函式y= (x＞0)的值域．
變式：函式 y＝的值域是由ex＝＞0，得值域為(-∞，-1)∪(2，+∞)；
八、利用已知函式的有界性．
例8 求函式y=的值域.
變式：求下列函式的值域
（1）（2）；
函式解析式
一、定義法：
例1：設，求.
變式1：設，求.
變式2：設，求.
變式3：設.
二、待定係數法：
例2：已知，求.
變式1、已知是一次函式，且滿足，求；
三、換元（或代換）法：
例3：已知求.
變式1：設，求.
變式2：若求.
變式3：設，求。
四、微積分法：
例4：設，求.
四、 實戰訓練
1、(07安徽文7)圖中的圖象所表示的函式的解析式為
(a) (0≤x≤2)
(b) (0≤x≤2)
(c) (0≤x≤2)
(d) (0≤x≤2)
2、（07陝西文2）函式的定義域為
（a）［0，1b）（-1，1）
（c）［-1，1d）（-∞，-1）∪（1，+∞）
3、（07山東文13）設函式則 ．
4、（07北京文14）已知函式，分別由下表給出
則的值為當時
5、（07北京理14）已知函式，分別由下表給出
則的值為滿足的的值是
6、（07上海理1）函式的定義域為
7、（07湖北文理15）為了預防流感，某學校對教室用藥薰消毒法進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內每立方公尺空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）成正比；
藥物釋放完畢後，
與的函式關係式為（為常數），如圖所示．
據圖中提供的資訊，回答下列問題：
（）從藥物釋放開始，每立方公尺空氣中的含藥量（毫克）與時間 （小時）之間的函式關係式為
（）據測定，當空氣中每立方公尺的含藥量降低到毫克以下時，學生方可進教室，那麼， 藥物釋放開始，至少需要經過小時後，學生才能回到教室．
8、(07浙江文11)函式的值域是
9．（08北京模擬）若函式的定義域、值域都是閉區間[2，2b]，則b的
為 。
10 （08北京模擬）對於任意實數，，定義設函式
，則函式的最大值是
11．（08北京模擬）已知函式的定義域是，值域是，那麼滿足條件的整數數對共有 （ ）
（a）2個b）3個c） 5個 （d）無數個
12.（08全國）函式的定義域為（ ）
ab．cd．13.（08四川）設定義在上的函式滿足，若，則( )
14.（08江西）若函式的值域是，則函式的值域是
a． b． c． d．
15.（08湖北）函式的定義域為
ab.cd.
16.（08陝西）定義在上的函式滿足（），，則等於（ ）
a．2 b．3 c．6 d．9
17.（08重慶)已知函式y=的最大值為m,最小值為m,則的值為
(abcd)
18.（08安徽）函式的定義域為
19.（08湖南卷14）已知函式若a＞0,則的定義域是
20．（07陝西）設函式f(x)=其中a為實數.
(ⅰ)若f(x)的定義域為r,求a的取值範圍;
(ⅱ)當f(x)的定義域為r時，求f(x)的單減區間.
21．（07北京）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計畫將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為．
（）求面積以為自變數的函式式，並寫出其定義域；
（）求面積的最大值．
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