2011高考數學一輪複習（例題解析）：11.2概率的應用
a組1．在乙個袋子中裝有分別標註數字1,2,3,4,5的五個小球，這些小球除標註的數字外完全相同．現從中隨機取出2個小球，則取出的小球標註的數字之和為3或6的概率是________．
解析：當取出的小球標註的數字之和為3時只有一種取法；當取出的小球標註的數字之和為6時，有，兩種取法，所以符合條件的取法種數為3種，而所有的取法有10種，故所求的概率為.答案：
2．已知k∈z，＝(k,1)，＝(2,4)，若|a|≤4，則△abc是直角三角形的概率為________．
解析：|a|≤4，k2＋1≤16，k2≤15，k＝－3，－2，－1,0,1,2,3.
b＝(2－k,3)．若a·b＝－k2＋2k＋3＝0，則k＝－1，k＝3；若b·a＝0，則k＝8(舍)；若a·a＝0，則k＝－2.故p＝.答案：
3．(2023年南京調研)甲盒子裡裝有分別標有數字1,2,4,7的4張卡片，乙盒子裡裝有分別標有數字1,4的2張卡片．若從兩個盒子中各隨機地取出1張卡片，則2張卡片上的數字之和為奇數的概率是________．
解析：數字之和為奇數的有(1,4)，(2,1)，(4,1)，(7,4)共4種情形，而從兩個盒子中各抽取一張卡片共有8種情況，所以所求概率為.答案：
4．(2023年高考江蘇卷)現有5根竹竿，它們的長度(單位：m)分別為2.5,2.
6,2.7,2.8,2.
9，若從中一次隨機抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3 m的概率為________．
解析：在5個長度中一次隨機抽取2個，則有(2.5,2.
6)，(2.5，2.7)，(2.
5,2.8)，(2.5,2.
9)，(2.6,2.7)，(2.
6,2.8)，(2.6,2.
9)，(2.7,2.8)，(2.
7,2.9)，(2.8,2.
9)，共10種情況．滿足長度恰好相差0.3 m的基本事件有(2.5,2.
8)，(2.6,2.9)，共2種情況，所以它們的長度恰好相差0.
3 m的概率為p＝＝.答案：
5．(原創題)連擲兩次骰子分別得到點數m，n，向量a＝(m，n)，b＝(－1,1)，若在△abc中，a與a同向，c與b反向，則∠abc是鈍角的概率是________．
解析：要使∠abc是鈍角，必須滿足a·c<0，即a·b＝n－m>0.連擲兩次骰子所得點數m，n共有36種情形，其中15種滿足條件，故所求概率是.
6．乙個袋子中有紅、白、藍三種顏色的球共24個，除顏色外其他特徵完全相同，已知藍色球3個．若從袋子中隨機取出1個球，取到紅色球的概率是.
(1)求紅色球的個數；
(2)若將這三種顏色的球分別進行編號，並將1號紅色球，1號白色球，2號藍色球和3號藍色球這四個球裝入另乙個袋子中，甲乙兩人先後從這個袋子中各取乙個球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的編號比乙大的概率．
解：(1)設紅色球有x個，依題意得＝，解得x＝4，∴紅色球有4個．
(2)記「甲取出的球的編號比乙的大」為事件a，所有的基本事件有(紅1，白1)，(紅1，藍2)，(紅1，藍3)，(白1，紅1)，(白1，藍2)，(白1，藍3)，(藍2，紅1)，(藍2，白1)，(藍2，藍3)，(藍3，紅1)，(藍3，白1)，(藍3，藍2)，共12個．事件a包含的基本事件有(藍2，紅1)，(藍2，白1)，(藍3，紅1)，(藍3，白1)，(藍3，藍2)，共5個，所以p(a)＝.
b組1．(2023年高考浙江卷)有20張卡片，每張卡片上分別標有兩個連續的自然數k，k＋1，其中k＝0,1,2，…，19.從這20張卡片中任取一張，記事件「該卡片上兩個數的各位數字之和(例如：若取到標有9,10的卡片，則卡片上兩個數的各位數字之和為9＋1＋0＝10)不小於14」為a，則p(a
解析：對於大於14的情況通過列舉可得有5種情況：
(7,8)、(8,9)、(16,17)、(17,18)、(18,19)，而基本事件有20種，因此p(a)＝.
答案：2．用黑白兩種顏色的正方形地磚依照下圖的規律拼成若干圖形，則按此規律第100個圖形中有白色地磚________塊；現將一粒豆子隨機撒在第100個圖形中，則豆子落在白色地磚上的概率是________．
解析：白色地磚構成等差數列：8,13,18，…，5n＋3，…
∴an＝5n＋3，a100＝503，第100個圖形中有地磚503＋100＝603，故所求概率p＝.答案：503
3．設集合a＝，b＝，分別從集合a和b中隨機取乙個數a和b，確定平面上的乙個點p(a，b)，記「點p(a，b)落在直線x＋y＝n上」為事件cn(2≤n≤5，n∈n)，若事件cn的概率最大，則n的所有可能值為________．
解析：分別從a和b中各取1個數，一共有6種等可能的取法，點p(a，b)恰好落在直線x＋y＝2上的取法只有1種：(1,1)；恰好落在直線x＋y＝3上的取法有2種：
(1,2)，(2,1)；恰好落在直線x＋y＝4上的取法也有2種：(1,3)，(2,2)；恰好落在直線x＋y＝5上的取法只有1種：(2,3)，故事件cn的概率分別為，，， (n＝2,3,4,5)，故當n＝3或4時概率最大．答案：
3和44．先後從分別標有數字1,2,3,4的4個大小、形狀完全相同的球中，有放回地隨機抽取2個球，則抽到的2個球的標號之和不大於5的概率等於________．
解析：基本事件共有4×4＝16個，其中抽到的2個球的標號之和不大於5的情況有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1)，共10種，所以所求概率為＝.
答案：5．把一顆骰子投擲兩次，觀察出現的點數，並記第一次出現的點數為a，第二次出現的點數為b，向量m＝(a，b)，n＝(1，－2)，則向量m與向量n垂直的概率是________．
解析：顯然m·n＝a－2b＝0，所有可能的結果為(a，b)＝(2,1)、(4,2)、(6,3)．基本事件總數為36，則概率為.答案：
6.(2023年南京高三調研)如圖，將乙個體積為27 cm3的正方體木塊表面塗上藍色，然後鋸成體積為1 cm3小正方體，從中任取一塊，則這一塊恰有兩面塗有藍色的概率是 .
解析：據題意知兩面塗色的小正方體當且僅當它們是大正方體的各條稜的中點時滿足條件．正方體共12條稜，所以兩面塗色的小正方體有12個，而所有小正方體有27個，所以，所求的概率為p＝＝.答案：
7．集合a＝，b＝，在a中任取一元素m和在b中任取一元素n，則所取兩數m>n的概率是________．
解析：基本事件總數為25個．m＝2時，n＝1；m＝4時，n＝1,3；m＝6時，n＝1,3,5；m＝8時，n＝1,3,5,7；m＝10時，n＝1,3,5,7,9；共15個．故p＝＝0.6.
答案：0.6
8．集合a＝，集合b＝．先後擲兩顆骰子，設擲第一顆骰子得點數記作a，擲第二顆骰子得點數記作b，則(a，b)∈a∩b的概率等於 .
解析：如圖：滿足(a，b)∈(a∩b)的(a，b)值共有8個，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．∴p＝＝.答案：
9．(2023年江蘇泰興模擬)已知|x|≤2，|y|≤2，點p的座標為(x，y)，則當x，y∈z時，p滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率為________．
解析：由|x|≤2，|y|≤2，x、y∈z，則基本事件總數為n＝25，p滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4，∴滿足條件的整點有(0,2)，(1,2)，(2,2)，(1,1)，(2,1)，(2,0)6個，故p＝.答案：
10．(2023年皖南八校質檢)甲、乙兩人各擲一次骰子(均勻的正方體，六個面上分別為1,2,3,4,5,6點)，所得點數分別為x，y.
(1)求x解：記基本事件為(x，y)，則有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36個基本事件．
其中滿足x滿足5(1)x(2)511．晚會上，主持人面前放著a、b兩個箱子，每箱均裝有3個完全相同的球，各箱的3個球分別標有號碼1,2,3.現主持人從a、b兩箱中各摸出一球．
(1)若用(x，y)分別表示從a、b兩箱中摸出的球的號碼，請寫出數對(x，y)的所有情形，並回答一共有多少種；
(2)求所摸出的兩球號碼之和為5的概率；
(3)請你猜這兩球的號碼之和，猜中有獎．猜什麼數獲獎的可能性最大？說明理由．
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