課時作業(六十七)
第67講數學證明
[時間：45分鐘分值：100分]
1．[2011·信陽模擬] 在用反證法證明命題「已知a、b、c∈(0,2)，求證a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)不可能都大於1」時，反證時假設正確的是( )
a．假設a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都小於1
b．假設a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都大於1
c．假設a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都不大於1
d．以上都不對
2．[2011·濟南模擬] 在△abc中，已知sina＋cosa＝，則△abc的形狀是( )
a．銳角三角形 b．直角三角形
c．鈍角三角形 d．不能確定
3．設a，b，c均為正實數，那麼a＋，b＋，c＋( )
a．都不大於2
b．都不小於2
c．至少有乙個不大於2
d．至少有乙個不小於2
4．已知a，b是不相等的正數，x＝，y＝，則x，y的大小關係是________．
5．[2011·永州調研] 乙個質點從a出發依次沿圖中線段到達b、c、d、e、f、g、h、i、j各點，最後又回到a(如圖k67－1所示)，其中：ab⊥bc，ab∥cd∥ef∥hg∥ij，bc∥de∥fg∥hi∥ja.欲知此質點所走路程，至少需要測量n條線段的長度，則n＝( )
圖k67－1
a．2 b．3 c．4 d．5
6．[2011·惠州調研] 已知＝ad－bc，則＋＋…＋＝( )
a．－2 008 b．2 008
c．2 010 d．－2 010
7．[2011·東營模擬] △abc的三內角a、b、c的對邊分別為a、b、c，且a、b、c成等比數列，cosa、cosb、cosc成等差數列，則△abc為( )
a．等邊三角形 b．等腰三角形
c．直角三角形 d．等腰直角三角形
8．[2011·遼陽模擬] 已知關於x的不等式<0的解集為m，且3∈m,5m，則實數a的取值範圍為( )
a.∪(9,25) b.∪(9,25]
c.∪[9,25) d.∪[9,25]
9．若a，b，c是不全相等的正數，給出下列判斷：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b與a③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立．
其中判斷正確的個數是( )
a．0 b．1
c．2 d．3
10．觀察下表：
則第________行的各數之和等於2 0092.
11．[2011·襄陽調研] 如圖k67－2所示，由若干個點組成形如三角形的圖形，每條邊(包括兩個端點)有n(n>1，n∈n)個點，每個圖形總的點數記為an，則
圖k67－2
12．[2011·九江三模] 若直線ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長，則＋的最小值為________．
13．[2011·開封模擬] 如果函式f(x)在區間d上是凸函式，那麼對於區間d內的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sinx在區間(0，π)上是凸函式，那麼在△abc中，sina＋sinb＋sinc的最大值是________．
14．(10分)已知a，b，c∈(0,1)．求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時大於.
15. (13分)試比較nn＋1與(n＋1)n(n∈n*)的大小．
當n＝1時，有nn＋1________(n＋1)n(填＞、＝或＜)；
當n＝2時，有nn＋1________(n＋1)n(填＞、＝或＜)；
當n＝3時，有nn＋1________(n＋1)n(填＞、＝或＜)；
當n＝4時，有nn＋1________(n＋1)n(填＞、＝或＜)．
猜想乙個一般性結論，並加以證明．
16．(12分)數列(n∈n*)中，a1＝0，an＋1是函式fn(x)＝x3－(3an＋n2)x2＋3n2anx的極小值點，求通項an.
課時作業(六十七)
【基礎熱身】
1．b [解析] 「不可能都大於1」的否定是「都大於1」，故選b.
2．c [解析] 由sina＋cosa＝，得，(sina＋cosa)2＝1＋2sinacosa＝，∴sinacosa<0.
∵a∈(0，π)，∴sina>0，cosa<0，∴a∈.故選c.
3．d [解析] 因為a＋＋b＋＋c＋≥6，故選d.
4．x＝＝.∵a，b是不相等的正數，∴≠，∴(－)2>0，∴ <0，∴x20，y>0，∴x【能力提公升】
5．b [解析] 只需測量ab，bc，gh這3條線段的長．
6．a [解析] ∵＝－8，＝－8，…，＝－8，區間[4,2 010]中共有1 004個偶數，若每四個偶數為一組，共有251組，
∴＋＋…＋＝(－8)＋(－8)＋…＋(－8＝－8×251＝－2 008，故選a.
7．a [解析] ∵cosa，cosb，cosc成等差數列，
∴2cosb＝cosa＋cosc＝2coscos
＝2sincos，
∴cos(a－c)＝2cos2－1＝－1.①
∵a，b，c成等比數列，∴b2＝ac，∴sin2b＝sinasinc，
∴2sin2b＝cos(a－c)＋cosb，
∴cos(a－c)＝2sin2b－cosb，②
將①代入②整理得：
(2cosb－1)(cosb－3)(cosb＋1)＝0.
∵0∴b＝，∴cos(a－c)＝1，
∵－π從而△abc為等邊三角形，故選a.
8．b [解析] (1)當a≠25時， a∈∪(9,25)．
(2)當a＝25時，不等式為<0，解之得m＝(－∞，－5)∪，則3∈m且5m，
∴a＝25滿足條件，綜上可得a∈∪(9,25]．
9．c [解析] ①②正確；③中a≠c，b≠c，a≠b可能同時成立，如a＝1，b＝2，c＝3.選c.
10．1 005 [解析] 由題意歸納出第n行的各數之和為(2n－1)2,2n－1＝2 009，n＝1 005.
11. [解析] an＝3(n－1)，anan＋1＝9n(n－1)，裂項求和即可．
12．3＋2 [解析] 由題知直線經過圓心(2,1)，則有a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝3＋≥3＋2.
13. [解析] sina＋sinb＋sinc≤3sin＝3sin＝.
14．[解答] 證明：假設三式同時大於，
即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c>.①
又(1－a)a≤2＝，
(1－b)b≤，(1－c)c≤.
所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤，
與①式矛盾，即假設不成立，故結論正確．
15．[解答] < < > >
結論：當n≥3時，nn＋1>(n＋1)n(n∈n*)恆成立．
證明：①當n＝3時，34＝81>64＝43成立；
②假設當n＝k(k≥3)時成立，即kk＋1>(k＋1)k成立，即》1，
則當n＝k＋1時，
∵＝(k＋1)·k＋1>(k＋1)·k＋1＝>1，
∴(k＋1)k＋2>(k＋2)k＋1，即當n＝k＋1時也成立．
∴當n≥3時，nn＋1>(n＋1)n(n∈n*)恆成立．
【難點突破】
16．[思路] 先求導，再分類討論求出an＋1的關係式，最後運用「歸納——猜想——證明」的思想求通項an.
[解答] 易知f′n(x)＝x2－(3an＋n2)x＋3n2an＝(x－3an)(x－n2)，
令f′n(x)＝0，得x＝3an或x＝n2，
(1)若3an當x<3an時，f′n(x)>0，fn(x)單調遞增；
當3an當x>n2時，f′n(x)>0，fn(x)單調遞增，
故fn(x)在x＝n2時，取得極小值．
(2)若3an>n2，仿(1)可得，fn(x)在x＝3an時取得極小值．
(3)若3an＝n2，f′n(x)≥0，fn(x)無極值．
因a1＝0，則3a1<12，由(1)知，a2＝12＝1.
因3a2＝3<22，由(1)知a3＝22＝4，
因3a3＝12>32，由(2)知a4＝3a3＝3×4，
因3a4＝36>42，由(2)知a5＝3a4＝32×4，
由此猜想：當n≥3時，an＝4×3n－3.
下面用數學歸納法證明：當n≥3時，3an>n2.
事實上，當n＝3時，由前面的討論知結論成立．
假設當n＝k(k≥3)時，3ak>k2成立，則由(2)知ak＋1＝3ak>k2，從而3ak＋1－(k＋1)2>3k2－(k＋1)2＝2k(k－2)＋2k－1>0，
所以3ak＋1>(k＋1)2.
故當n≥3時，an＝4×3n－3，
於是由(2)知，當n≥3時，an＋1＝3an，而a3＝4，
因此an＝4×3n－3，
綜上所述，an＝
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