基礎鞏固強化
一、選擇題
1．(文)觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，則72011的末兩位數字為( )
a．01 b．43
c．07 d．49
[答案] b
[解析] 75＝16807,76＝117649，又71＝07，觀察可見7n(n∈n*)的末二位數字呈週期出現，且週期為4，
∵2011＝502×4＋3，
∴72011與73末兩位數字相同，故選b.
(理)(2012·江西理，6)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝( )
a．28 b．76
c．123 d．199
[答案] c
[解析] 本題考查了歸納推理能力，∵1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，…，47＋76＝123，故選c.
[點評] 解答本題時，可能因為分析不出右邊數字與前兩式的數字關係，從而無從下手，導致無法解題或錯選，要注意訓練觀察分析、歸納概括能力．
2．(2013·煙台質檢)命題「有些有理數是無限迴圈小數，整數是有理數，所以整數是無限迴圈小數」是假命題，推理錯誤的原因是( )
a．使用了歸納推理
b．使用了模擬推理
c．使用了「三段論」，但大前提錯誤
d．使用了「三段論」，但小前提錯誤
[答案] c
[解析] 三段論的大前提必須是全稱命題，此推理過程是三段論，但大前提是特稱命題．
3．(文)將正整數排成下表：
則在表中數字2014出現在( )
a．第44行第78列 b．第45行第78列
c．第44行第77列 d．第45行第77列
[答案] b
[解析] 第n行有2n－1個數字，前n行的數字個數為1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2014,2025>2014，∴2014在第45行．
2014－1936＝78，∴2014在第78列，選b.
(理)已知「整數對」按如下規律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個「整數對」是( )
a．(7,5) b．(5,7)
c．(2,10) d．(10,1)
[答案] b
[解析] 依題意，把「整數對」的和相同的分為一組，不難得知每組中每個「整數對」的和為n＋1，且每組共有n個「整數對」，這樣的前n組一共有個「整數對」，注意到<60<，因此第60個「整數對」處於第11組(每個「整數對」的和為12的組)的第5個位置，結合題意可知每個「整數對」的和為12的組中的各對數依次為：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60個「整數對」是(5,7)，選b.
4．(2012·長春調研)模擬「兩角和與差的正弦公式」的形式，對於給定的兩個函式：s(x)＝ax－a－x，c(x)＝ax＋a－x，其中a>0，且a≠1，下面正確的運算公式是( )
①s(x＋y)＝s(x)c(y)＋c(x)s(y)；
②s(x－y)＝s(x)c(y)－c(x)s(y)；
③2s(x＋y)＝s(x)c(y)＋c(x)s(y)；
④2s(x－y)＝s(x)c(y)－c(x)s(y)．
a．①② b．③④
c．①④ d．②③
[答案] b
[解析] 經驗證易知①②錯誤．依題意，注意到2s(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，s(x)c(y)＋c(x)s(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2s(x＋y)＝s(x)c(y)＋c(x)s(y)；同理有2s(x－y)＝s(x)c(y)－c(x)s(y)．綜上所述，選b.
5．(文)n個連續自然數按規律排成下表：
根據規律，從2012到2014的箭頭方向依次為( )
a．↓→ b．→↑
c．↑→ d．→↓
[答案] a
[解析] 觀察圖例可見，位序相同的數字都是以4為公差的等差數列，故從2012至2014，其位序應與012相同，故選a.
(理)已知函式f(x)＝sinx＋ex＋x2010，令f1(x)＝f ′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，則f2014(x)＝( )
a．sinx＋ex b．cosx＋ex
c．－sinx＋ex d．－cosx＋ex
[答案] c
[解析] f1(x)＝f ′(x)＝cosx＋ex＋2010x2009，
f2(x)＝f1′(x)＝－sinx＋ex＋2010×2009x2008，
f3(x)＝f2′(x)＝－cosx＋ex＋2010×2009×2008x2007，
f4(x)＝f3′(x)＝sinx＋ex＋2010×2009×2008×2007x2006，
由此可以看出，該函式前2項的和成週期性變化，週期t＝4；
而f2014(x)＝f ′2013(x)，此時其最後一項的導數已變為0.
故求f2014(x)的值，只需研究該函式前2項和的變化規律即可，於是，f2014(x)＝f(2＋4×503)(x)＝－sinx＋ex.
6．(文)定義某種新運算「」：s＝ab的運算原理為如圖的程式框圖所示，則式子54－36＝( )
a．2 b．1
c．3 d．4
[答案] b
[解析] 由題意知54＝5×(4＋1)＝25,36＝6×(3＋1)＝24，所以54－36＝1.
(理)若定義在區間d上的函式f(x)，對於d上的任意n個值x1、x2、…、xn，總滿足f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)≥nf，則稱f(x)為d上的凹函式，現已知f(x)＝tanx在上是凹函式，則在銳角三角形abc中，tana＋tanb＋tanc的最小值是( )
a．3 b.
c．3 d.
[答案] c
[解析] 根據f(x)＝tanx在上是凹函式，再結合凹函式定義得，tana＋tanb＋tanc≥3tan＝3tan＝3.故所求的最小值為3.
二、填空題
7．(文)(2013·青島模擬)如果函式f(x)在區間d上是凸函式，那麼對於區間d內的任意x1，x2，…，xn，都有≤f()．若y＝sinx在區間(0，π)上是凸函式，那麼在△abc中，sina＋sinb＋sinc的最大值是________．
[答案]
[解析] 由題意知，凸函式滿足
≤f()，
∴sina＋sinb＋sinc≤3sin
＝3sin＝.
(理)設f(x)定義如表，數列滿足x1＝5，xn＋1＝f(xn)，則x2014的值為________.
[答案] 1
[解析] 由條件知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，可知是週期為6的週期數列，∴x2014＝x4＝1.
8．(文)(2012·陝西文，12)觀察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……照此規律，第五個不等式為
[答案] 1＋＋＋＋＋<
[解析] 本題考查了歸納的思想方法．
觀察可以發現，第n(n≥2)個不等式左端有n＋1項，分子為1，分母依次為12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母為n＋1，分子成等差數列，因此第n個不等式為1＋＋＋…＋<，
所以第五個不等式為：
1＋＋＋＋＋<.
(理)(2013·龍江模擬)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈n*)，經計算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>.則有
[答案] f(2n)≥(n≥2，n∈n*)
[解析] 因為f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以當n≥2時，有f(2n)>.故填f(2n)> (n≥2，n∈n*)．
9．(文)(2013·山西四校聯考)已知x∈(0，＋∞)，觀察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，模擬得x＋≥n＋1(n∈n*)，則a
[答案] nn
[解析] 第乙個式子是n＝1的情況，此時a＝11＝1，第二個式子是n＝2的情況，此時a＝22＝4，第三個式子是n＝3的情況，此時a＝33＝27，歸納可知a＝nn.
(理)橢圓與雙曲線有許多優美的對偶性質，如對於橢圓有如下命題：ab是橢圓＋＝1(a>b>0)的不平行於對稱軸且不過原點的弦，m為ab的中點，則kom·kab＝－.那麼對於雙曲線則有如下命題：
ab是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的不平行於對稱軸且不過原點的弦，m為ab的中點，則kom·kab
[答案]
[解析] 設a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(x0，y0)，則有
將a，b代入雙曲線－＝1中得，
－＝1，－＝1，
兩式相減得＝，
即＝，即＝，
即kom·kab＝.
三、解答題
10．(文)已知：a>0，b>0，a＋b＝1.求證：＋≤2.
[證明] 要證＋≤2，
只需證a＋＋b＋＋2≤4，
又a＋b＝1，故只需證≤1，只需證(a＋)(b＋)≤1，只需證ab≤.
∵a>0，b>0,1＝a＋b≥2，∴ab≤，故原不等式成立．
(理)(2013·鶴崗模擬)設數列是公比為q的等比數列，sn是它的前n項和．
(1)求證：數列不是等比數列；
(2)數列是等差數列嗎？為什麼？
[解析] (1)證明：假設數列是等比數列，
則s＝s1s3，即a (1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
因為a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，
這與公比q≠0矛盾，所以數列不是等比數列．
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