一、選擇題
1．如圖，矩形abcd中，點e為邊cd的中點，若在矩形abcd內部隨機取乙個點q，則點q取自△abe內部的概率等於( )
a. b. c. d.
解析：點e為邊cd的中點，故所求的概率p＝＝，故選c.
答案：c
2．在面積為s的△abc的邊ab上任取一點p，則△pbc的面積大於的概率是( )
a. b. c. d.
解析：如圖所示，設△abc的bc邊上的高為ad，在ab邊上任取一點p，由點p作pe⊥bc，垂足為e，則易知當pe＞ad時，△pbc的面積大於，即當＞時，△pbc的面積大於.
記a＝．
由幾何概型的概率公式，得p(a)＝＝.
答案：c
3．如圖所示，a是圓上一定點，在圓上其他位置任取一點a′，鏈結aa′，得到一條弦，則此弦的長度小於或等於半徑長度的概率為( )
a. b. c. d.
解析：當aa′的長度等於半徑長度時，∠aoa′＝，a′點左右各一點，故由幾何概型的概率公式得p＝＝，故選c.
答案：c
4．分別在區間[0,5]和[0,3]內任取乙個實數，依次記為m和n，則m＞n的概率為( )
a. b. c. d.
解析：建立平面直角座標系(如圖所示)，則由圖可知滿足m＞n的點應在梯形oabd內，所以所求事件的概率為p＝＝.
答案：a
5．設不等式組所表示的區域為a，現在區域a中任意丟進乙個粒子，則該粒子落在直線y＝x＋1下方的概率為( )
a. b. c. d.
解析：不等式組表示的平面區域a為圖中陰影部分所示，直線y＝x＋1過平面區域中的(0,1)，(1,2)點，所以直線y＝x＋1下方的陰影部分的面積為2×2－×1×1＝，所以所求的概率為＝.
答案：b
6．若a是從區間[0,3]內任取的乙個實數，b是從區間[0,2]內任取的乙個實數，則關於x的一元二次方程x2－2ax＋b2＝0有實根的概率為( )
a. b. c. d.
解析：方程有實根，則δ＝4a2－4b2≥0，則a≥b≥0，不等式組所滿足的可行域如圖中陰影部分所示，則根據幾何概型概率公式可得，所求概率p＝＝＝，故選a.
答案：a
二、填空題
7．在區間[－1,2]上隨機取乙個數x，則|x|≤1的概率為
解析：由|x|≤1得，－1≤x≤1，故易知所求概率為＝.
答案：8．有乙個底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點o為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內隨機取一點p，則點p到點o的距離大於1的概率為
解析：先求點p到點o的距離小於1或等於1的概率，圓柱的體積v圓柱＝π×12×2＝2π，以o為球心，1為半徑且在圓柱內部的半球的體積v半球＝×π×13＝π.則點p到點o的距離小於1或等於1的概率為：
＝，故點p到點o的距離要大於1的概率為：1－＝.
答案：9．已知圓c：x2＋y2＝12，直線l：4x＋3y＝25.
(1)圓c的圓心到直線l的距離為
(2)圓c上任意一點a到直線l的距離小於2的概率為
解析：根據點到直線的距離公式得d＝＝5；設直線4x＋3y＝c到圓心的距離為3，則＝3，取c＝15，則直線4x＋3y＝15把圓所截得的劣弧的長度和整個圓的周長的比值是所求的概率，由於圓半徑是2，則可得直線4x＋3y＝15截得的圓弧所對的圓心角為60°，故所求的概率是.
答案：5
三、解答題
10．求下列概率：
(1)已知x∈(－1,1)，求x2＜1的概率；
(2)已知x，y∈(－1,1)，求x2＋y2＜1的概率；
(3)已知x，y，z∈(－1,1)，求x2＋y2＋z2＜1的概率．
解析：(1)x∈(－1,1)的結果是任意的且有無限個，屬於幾何概型．
設x2＜1為事件a，則事件a構成的區域長度是1－(－1)＝2，全部結果構成的區域長度是1－(－1)＝2，則p(a)＝＝1，即x2＜1的概率是1.
(2)x，y∈(－1,1)的結果是任意的且有無限個，屬於幾何概型．
設x2＋y2＜1為事件b，則事件b構成的區域面積是平面直角座標系中以原點為圓心、半徑為1的圓的面積π，全部結果構成的區域面積是平面直角座標系中直線x＝±1，y＝±1圍成的正方形的面積22＝4，則p(b)＝，即x2＋y2＜1的概率是.
(3)x，y，z∈(－1,1)的結果是任意的且有無限個，屬於幾何概型．
設x2＋y2＋z2＜1為事件c，
則事件c構成的區域體積是空間直角座標系中以原點為球心、半徑為1的球的體積，
全部結果構成的區域體積是空間直角座標系中平面x＝±1，y＝±1，z＝±1圍成的正方體的體積23＝8，
則p(c)＝＝，即x2＋y2＋z2＜1的概率是.
11．已知複數z＝x＋yi(x，y∈r)在復平面上對應的點為m.
(1)設集合p＝，q＝，從集合p中隨機取乙個數作為x，從集合q中隨機取乙個數作為y，求複數z為純虛數的概率；
(2)設x∈[0,3]，y∈[0,4]，求點m落在不等式組所表示的平面區域內的概率．
解析：(1)記「複數z為純虛數」為事件a.
∵組成複數z的所有情況共有12個：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每種情況出現的可能性相等，屬於古典概型，
其中事件a包含的基本事件共2個：i,2i，
∴所求事件的概率為p(a)＝＝.
(2)依條件可知，點m均勻地分布在平面區域內，屬於幾何概型．
該平面區域的圖形為右圖中矩形oabc圍成的區域，面積為s＝3×4＝12.
而所求事件構成的平面區域為，其圖形如圖中的三角形oad(陰影部分)．
又直線x＋2y－3＝0與x軸、y軸的交點分別為a(3,0)，d(0，)，
∴△oad的面積為s1＝×3×＝.
∴所求事件的概率為p＝＝＝.
12．已知函式f(x)＝ax2－2bx＋a(a，b∈r)．
(1)若a從集合中任取乙個元素，b從集合中任取乙個元素，求方程f(x)＝0恰有兩個不相等實根的概率；
(2)若b從區間[0,2]中任取乙個數，a從區間[0,3]中任取乙個數，求方程f(x)＝0沒有實根的概率．
解析：(1)∵a從集合中任取乙個元素，b從集合中任取乙個元素，
∴a，b取值的情況是：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，其中第乙個數表示a的取值，第二個數表示b的取值，即基本事件總數為16.
設「方程f(x)＝0恰有兩個不相等的實根」為事件a，
當a＞0，b≥0時，方程f(x)＝0恰有兩個不相等實根的充要條件為b＞a且a≠0，
當b＞a且a≠0時，a，b取值的情況有(1,2)，(1,3)，(2,3)，即事件a包含的基本事件數為3，
∴方程f(x)＝0恰有兩個不相等實根的概率p(a)＝.
(2)∵b從區間[0,2]中任取乙個數，a從區間[0,3]中任取乙個數，則試驗的全部結果構成區域ω＝，
這是乙個矩形區域，其面積sω＝2×3＝6，
設「方程f(x)＝0沒有實根」為事件b，則事件b所構成的區域為m＝，其面積sm＝6－×2×2＝4，由幾何概型的概率計算公式可得：方程f(x)＝0沒有實根的概率p(a)＝＝＝.
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