1.7.4直接證明與間接證明文
一、選擇題
1．下列表述：①綜合法是由因導果法；②綜合法是順推法；③分析法是執果索因法；④分析法是逆推法；⑤反證法是間接證法．其中正確的有( )
a．2個 b．3個
c．4個 d．5個
答案：d
2．命題「對於任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ」的證明：「cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ」的過程應用了( )
a．分析法 b．綜合法
c．綜合法、分析法綜合使用 d．間接證明法
答案：b
3．若a，b，c為實數，且a＜b＜0，則下列命題正確的是( )
a．ac2＜bc2 b．a2＞ab＞b2
c.＜ d.＞
答案：b
4．若p＝＋，q＝＋(a≥0)，則p、q的大小關係是( )
a．p＞q b．p＝q
c．p＜q d．由a的取值確定
答案：c
5．已知a，b，c∈r，那麼下列命題中正確的是( )
a．若a＞b，則ac2＞bc2
b．若＞，則a＞b
c．若a3＞b3且ab＜0，則＞
d．若a2＞b2且ab＞0，則＜
答案：c
6．函式y＝f(x)在(0,2)上是增函式，函式y＝f(x＋2)是偶函式，則f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小關係是( )
a．f(2.5)＜f(1)＜f(3.5) b．f(2.5)＞f(1)＞f(3.5)
c．f(3.5)＞f(2.5)＞f(1) d．f(1)＞f(3.5)＞f(2.5)
答案：b
二、填空題
7．設a，b，c∈(－∞，0)，則a＋，b＋，c＋三個數中小於－2.
答案：至少有乙個
8．如果a＋b＞a＋b，則a、b應滿足的條件是
答案：a≥0，b≥0且a≠b
9．在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到∠a為鈍角的結論，三邊a，b，c應滿足
答案：a2＞b2＋c2
三、解答題
10．已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證：＜a.
證明：∵a＞b＞0且a＋b＋c＝0，
∴a＞0且c＜0，
∴b2－ac＞0.
要證＜a，只需證b2－ac＜3a2，
∵a＋b＋c＝0，
∴只需證b2＋a(a＋b)＜3a2，
即證2a2－ab－b2＞0，即證(a－b)(2a＋b)＞0，
即證(a－b)(a－c)＞0.
因為a＞b＞c，所以a－b＞0，a－c＞0，
所以(a－b)(a－c)＞0，顯然成立，故原不等式成立．
11．在銳角三角形中，求證：sina＋sinb＋sinc＞cosa＋cosb＋cosc.
證明：∵在銳角三角形中，a＋b＞，
∴a＞－b.∴0＜－b＜a＜.
又∵在內正弦函式是單調遞增函式，
∴sina＞sin＝cosb.
即sina＞cosb，同理sinb＞cosc，sinc＞cosa.
∴sina＋sinb＋sinc＞cosa＋cosb＋cosc.
12．已知a，b，c均為正數，證明：a2＋b2＋c2＋2≥6，並確定a，b，c為何值時，等號成立．
解析：因為a，b，c均為正數，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①
同理＋＋≥＋＋，②
故a2＋b2＋c2＋2
≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③
所以原不等式成立
當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立，當且僅當a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3時，③式等號成立．
即當且僅當a＝b＝c＝3時，原式等號成立．
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