1.（2023年廣東省中考擬）如圖，在等腰rt△abc中，∠c=90°，
正方形defg的頂點d在邊ac上，點e、f在邊ab上，點g在邊bc上.
（1）求證ae=bf；
（2）若bc=cm，求正方形defg的邊長.
2.(2011·廣東)如圖，分別以rt△abc的直角邊ac及斜邊ab向外作等邊△acd、等邊△abe.已知∠bac＝30°，ef⊥ab，垂足為f，連線df.
(1)試說明ac＝ef；
(2)求證：四邊形adfe是平行四邊形．
3.（2023年中考模擬2）如圖，在等腰梯形abcd中，∠c=60°，ad∥bc，且ad=dc，e、f分別在ad、dc的延長線上，且de=cf，af、be交於點p .
（1）求證：af=be；
（2）請你猜測∠bpf的度數，並證明你的結論 .
4.（2023年安徽省模擬）如圖，在梯形abcd中ad//bc,bd=cd,且∠abc為銳角，若ad=4 ,bc=12， e為bc上的一點，當ce分別為何值時，四邊形abed是等腰梯形？直角梯形？
寫出你的結論，並加以證明。
5.（2023年河南模擬）如圖，以rt△abc的直角邊ab為直徑的半圓o，與斜邊ac交於d，e是bc邊上的中點，鏈結de.
de與半圓o相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明理由；
若ad、ab的長是方程x2－10x+24=0的兩個根，求直角邊bc的長.
6.（2023年湖南模擬）如圖 ,以△acf的邊ac為弦的圓交af、cf於點b、e,鏈結bc,且滿足ac2=ce·cf.求證:△abc為等腰三角形.
1.解：（1）∵ 等腰rt△abc中，∠90°，
∴ ∠a＝∠b
∵ 四邊形defg是正方形，
∴ de＝gf，∠dea＝∠gfb＝90°，
∴ △ade≌△bgf，
∴ ae＝bf．
（2）∵ ∠dea＝90°，∠a=45°，
∴∠ade=45°．
∴ ae＝de． 同理bf＝gf．
∴ ef＝ab===cm，
∴ 正方形defg的邊長為．
2.解 (1)在rt△abc中，∠bac＝30°，
∴bc＝ab，ac＝ab.
在等邊△abe中，ef⊥ab，
∴∠afe＝90°，af＝ae，ef＝ae＝ab，
∴ac＝ef.
(2)在等邊△acd中，∠dac＝60°，
∴∠daf＝60°＋30°＝90°＝∠efa，
∴ad∥ef.
又ad＝ac＝ef，
∴四邊形adef是平行四邊形．
3.解：1）∵ba=ad，∠bae=∠adf，ae=df，
∴△bae≌△adf，∴be=af；
（2）猜想∠bpf=120° .
∵由（1）知△bae≌△adf，∴∠abe=∠daf .
∴∠bpf=∠abe+∠bap=∠bae，而ad∥bc，∠c=∠abc=60°，
∴∠bpf=120°
4.解：當ce=4時，四邊形abcd是等腰梯形
在bc上擷取ce=ad,連線de、ae.
又∵ad//bc, ∴四邊形aecd是平行四邊形
∴ae=cd=bd
∵be=12-4=8＞4, 即be＞ad
∴ab不平行於de ∴四邊形abed是梯形
∵ae//cd, cd=bd, ∴∠aeb=∠c=∠dbe
在△abe和△deb中
ae=db , ∠aeb=∠dbe, be=eb
△abe≌△deb (sas) , ∴ab=de
∴四邊形abed 是等腰梯形
當ce=6,四邊形abed是直角梯形
在bc上取一點e,使得ec=be= bc=6,連線de,
∵bd=cd,∴de⊥bc
又∵be≠ad,ad//be, ∴ab不平行於de
∴四邊形abde是直角梯形
5.解：（1）de與半圓o相切.
證明： 鏈結od、bd ∵ab是半圓o的直徑
∴∠bda=∠bdc=90° ∵在rt△bdc中,e是bc邊上的中點
∴de=be∴∠ebd＝∠bde∵ob=od∴∠obd=∠odb
又∵∠abc＝∠obd+∠ebd＝90°
∴∠odb+∠ebd=90°∴de與半圓o相切.
（2）解：∵在rt△abc中，bd⊥ac
rt△abd∽rt△abc
即ab2=ad·ac∴ ac=
ad、ab的長是方程x2－10x+24=0的兩個根
解方程x2－10x+24=0得： x1=4 x2=6
ad在rt△abc中，ab=6 ac=9
∴ bc===3
6.證明:鏈結ae.∵ac2=ce·cf,∴
又∵∠ace=∠fca.∴△ace∽△fca.
∴∠aec=∠fac. ∵.
∴ac=bc,∴△abc為等腰三角形.
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