階段回扣練6 數列
一、選擇題
1．(2015·北京海淀區一模)在等差數列中，a1＝1，a3＝－5，則a1－a2－a3－a4＝( )
a．－14b．－9c．11d．16
解析在等差數列中，a3＝a1＋2d，即－5＝1＋2d，故d＝－3，則a2＝－2，a4＝－8，所以a1－a2－a3－a4＝16.答案 d
2．在等比數列中，a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，則a7
a．64b．32c．16d．128
解析由已知得解得故a7＝a1q6＝26＝64.
3．(2015·合肥一模)以sn表示等差數列的前n項和，若a2＋a7－a5＝6，則s7＝( )
a．42b．28c．21d．14
解析依題意得a2＋a7－a5＝(a5＋a4)－a5＝a4＝6，s7＝＝7a4＝42，故選a.
4．若數列的通項公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10等於
a．15b．12c．－12d．－15
解析由題意知，a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.答案 a
5．(2015·合肥質量檢測)已知數列的前n項和為sn，並滿足：an＋2＝2an＋1－an，a5＝4－a3，則s7
a．7b．12c．14d．21
解析依題意，數列是等差數列，且a3＋a5＝4，s7＝＝＝14，故選c.
6．(2014·宜春調研)已知等差數列，前n項和用sn表示，若2a5＋3a7＋2a9＝14，則s13等於
a．26b．28c．52d．13
解析依題意得7a7＝14，a7＝2，s13＝＝13a7＝26，故選a.
7．設是等比數列，函式y＝x2－x－2 013的兩個零點是a2，a3，則a1a4＝( )
a．2 013b．1c．－1d．－2 013
解析由題意可知，a2，a3是x2－x－2 013＝0的兩根，由根與係數的關係可得，a2a3＝－2 013，根據等比數列的性質可知a1a4＝a2a3＝－2 013.答案 d
8．(2014·荊州質檢)公差不為零的等差數列的前n項和為sn，若a4是a3與a7的等比中項，且s10＝60，則s20
a．80b．160c．320d．640
解析由題意可知，a＝a3a7，由於是等差數列，所以(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，解得a1＝－d(d＝0捨去)，又s10＝10a1＋d＝60，所以a1＋d＝6，從而d＝2，a1＝－3.所以s20＝20a1＋d＝－60＋20×19＝320.答案 c
9．(2015·銀川質量檢測)已知數列為等差數列，若a3＋a17＞0，且a10＋a11＜0，則使的前n項和sn有最大值的n為
a．9b．10c．11d．12
解析依題意得2a10＞0，即a10＞0，a11＜－a10＜0，因此在等差數列中，前10項均為正，從第11 項起以後各項均為負，使數列的前n項和sn有最大值的n為10，故選b.
10．(2014·山西晉中名校聯考)已知正項等差數列滿足：an＋1＋an－1＝a (n≥2)，等比數列滿足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，則log2(a2＋b2
a．－1或2b．0或2c．2d．1
解析由題意可知an＋1＋an－1＝2an＝a，解得an＝2(n≥2)(由於數列每項都是正數，故an＝0捨去)，又bn＋1bn－1＝b＝2bn(n≥2)，所以bn＝2(n≥2)，故log2(a2＋b2)＝log24＝2.答案 c
二、填空題
11．(2014·深圳調研)數列滿足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈n＋)，則a6
解析由題意得a3＝a2＋a1＝2，a4＝a3＋a2＝3，a5＝a4＋a3＝5，a6＝a5＋a4＝8.
12．(2015·惠州調研)在等比數列中，a1＝1，公比q＝2，若的前n項和sn＝127，則n的值為________．
解析由題意知sn＝＝2n－1＝127，解得n＝7.
13．已知等比數列中，各項都是正數，且a1， a3，2a2成等差數列，則的值為________．
解析設等比數列的公比為q，
∵a1， a3，2a2成等差數列，∴a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q.∴q2－2q－1＝0.∴q＝1±.∵各項都是正數，∴q＞0.
∴q＝1＋.∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.答案 3＋2
14．(2014·安徽卷)如圖，在等腰直角三角形abc中，斜邊bc＝2.過點a作bc的垂線，垂足為a1；過點a1作ac的垂線，垂足為a2；過點a2作a1c的垂線，垂足為a3；…，依此類推．設ba＝a1，aa1＝a2，a1a2＝a3，…，a5a6＝a7，則a7
解析由bc＝2得ab＝a1＝2aa1＝a2＝a1a2＝a3＝×＝1，由此可歸納出是以a1＝2為首項，為公比的等比數列，因此a7＝a1×q6＝2×＝.答案
15．(2015·西安模擬)在數列中，若a－a＝p(n≥1，n∈n＋，p為常數)，則稱為「等方差數列」，下列是對「等方差數列」的判斷：
①若是等方差數列，則是等差數列；②是等方差數列；
③若是等方差數列，則(k∈n＋，k為常數)也是等方差數列．
其中真命題的序號為________．
解析 ①正確，因為a－a＝p，所以a－a＝－p，於是數列為等差數列．②正確，因為(－1)2n－(－1)2(n＋1)＝0為常數，於是數列為等方差數列．③正確，因為a－a＝(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp，則(k∈n＋，k為常數)也是等方差數列．答案 ①②③
三、解答題
16．(2014·重慶卷)已知是首項為1，公差為2的等差數列，sn表示的前n項和．
(1)求an及sn；
(2)設是首項為2的等比數列，公比q滿足q2－(a4＋1)q＋s4＝0.求的通項公式及其前n項和tn.
解 (1)因為是首項a1＝1，公差d＝2的等差數列，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
故sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝＝＝n2.
(2)由(1)得a4＝7，s4＝16.因為q2－(a4＋1)q＋s4＝0，即q2－8q＋16＝0，所以(q－4)2＝0，從而q＝4.又因為b1＝2，是公比q＝4的等比數列，所以bn＝b1qn－1＝2×4n－1＝22n－1.
從而的前n項和tn＝＝(4n－1)．
17．在數列中，a1＝1，當n≥2時，其前n項和sn滿足s＝an.
(1)求sn的表示式；
(2)設bn＝，求的前n項和tn.
解 (1)∵s＝an，an＝sn－sn－1(n≥2)，∴s＝(sn－sn－1)，
即2sn－1sn＝sn－1－sn，①由題意得sn－1·sn≠0，
①式兩邊同除以sn－1·sn，得－＝2，
∴數列是首項為＝＝1，公差為2的等差數列．
∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴sn＝.
(2)∵bn＝＝＝，
∴tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＝＝.18．(2013·湖北卷)已知sn是等比數列的前n項和，s4，s2，s3成等差數列，且a2＋a3＋a4＝－18.
(1)求數列的通項公式；
(2)是否存在正整數n，使得sn≥2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由．
解 (1)設數列的公比為q，則a1≠0，q≠0.
由題意得即
解得故數列的通項公式為an＝3(－2)n－1.
(2)由(1)有sn＝＝1－(－2)n.
若存在n，使得sn≥2 013，則1－(－2)n≥2 013，即(－2)n≤－2 012.
當n為偶數時，(－2)n>0.上式不成立；
當n為奇數時，(－2)n＝－2n≤－2 012，即2n≥2 012，則n≥11.
綜上，存在符合條件的正整數n，且所有這樣的n的集合為．
19．(2014·廣州綜測)已知等差數列的前n項和為sn＝n2＋pn＋q(p，q∈r)，且a2，a3，a5成等比數列．
(1)求p，q的值；
(2)若數列滿足an＋log2n＝log2bn，求數列的前n項和tn.
解 (1)當n＝1時，a1＝s1＝1＋p＋q，
當n≥2時，an＝sn－sn－1＝n2＋pn＋q－[(n－1)2＋p(n－1)＋q]＝2n－1＋p.
∵是等差數列，∴1＋p＋q＝2×1－1＋p，得q＝0.
又a2＝3＋p，a3＝5＋p，a5＝9＋p，
∵a2，a3，a5成等比數列，∴a＝a2a5，即(5＋p)2＝(3＋p)(9＋p)，解得p＝－1.
(2)由(1)得an＝2n－2.
∵an＋log2n＝log2bn，∴bn＝n·2an＝n·22n－2＝n·4n－1.
∴tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn
＝40＋2×41＋3×42＋…＋(n－1)·4n－2＋n·4n－1
4tn＝41＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n
①－②得－3tn＝40＋41＋42＋…＋4n－1－n·4n
＝－n·4n＝.
∴tn＝[(3n－1)·4n＋1]．
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