高三數學（人教版a版）第一輪複習資料
第1講集合
一．【課標要求】
1．集合的含義與表示
（1）通過例項，了解集合的含義，體會元素與集合的「屬於」關係；
（2）能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；
2．集合間的基本關係
（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；
（2）在具體情境中，了解全集與空集的含義；
3．集合的基本運算
（1）理解兩個集合的並集與交集的含義，會求兩個簡單集合的並集與交集；
（2）理解在給定集合中乙個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；
（3）能使用venn圖表達集合的關係及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用
二．【命題走向】
有關集合的高考試題，考查重點是集合與集合之間的關係，近年試題加強了對集合的計算化簡的考查，並向無限集發展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意利用幾何的直觀性，注意運用venn**題方法的訓練，注意利用特殊值法解題，加強集合表示方法的轉換和化簡的訓練。考試形式多以一道選擇題為主，分值5分。
進年高考將繼續體現本章知識的工具作用，多以小題形式出現，也會滲透在解答題的表達之中，相對獨立。具體題型估計為：
（1）題型是1個選擇題或1個填空題；
（2）熱點是集合的基本概念、運算和工具作用
三．【要點精講】
1．集合：某些指定的物件集在一起成為集合
（1）集合中的物件稱元素，若a是集合a的元素，記作；若b不是集合a的元素，記作；
（2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；
確定性：設a是乙個給定的集合，x是某乙個具體物件，則或者是a的元素，或者不是a的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；
互異性：乙個給定集合中的元素，指屬於這個集合的互不相同的個體（物件），因此，同一集合中不應重複出現同一元素；
無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同於元素的排列順序無關；
（3）表示乙個集合可用列舉法、描述法或圖示法；
列舉法：把集合中的元素一一枚舉出來，寫在大括號內；
描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內。
具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）範圍，再畫一條豎線，在豎線後寫出這個集合中元素所具有的共同特徵。
注意：列舉法與描述法各有優點，應該根據具體問題確定採用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜採用列舉法。
（4）常用數集及其記法：
非負整數集（或自然數集），記作n；
正整數集，記作n*或n+；
整數集，記作z；
有理數集，記作q；
實數集，記作r。
2．集合的包含關係：
（1）集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，則稱a是b的子集（或b包含a），記作ab（或）；
集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣。若ab且ba，則稱a等於b，記作a=b；若ab且a≠b，則稱a是b的真子集，記作a b；
（2）簡單性質：1）aa；2）a；3）若ab，bc，則ac；4）若集合a是n個元素的集合，則集合a有2n個子集（其中2n－1個真子集）；
3．全集與補集：
（1）包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作u；
（2）若s是乙個集合，as，則，=稱s中子集a的補集；
（3）簡單性質：1）()=a；2）s=，=s
4．交集與並集：
（1）一般地，由屬於集合a且屬於集合b的元素所組成的集合，叫做集合a與b的交集。交集。
（2）一般地，由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，稱為集合a與b的並集。
注意：求集合的並、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區分交集與並集的關鍵是「且」與「或」，在處理有關交集與並集的問題時，常常從這兩個字眼出發去揭示、挖掘題設條件，結合venn圖或數軸進而用集合語言表達，增強數形結合的思想方法。
5．集合的簡單性質：
（1）（2）
（3）（4）；
（5）（a∩b）=（a）∪（b），（a∪b）=（a）∩（b）。
四．【典例解析】
題型1：集合的概念
(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛兵乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛桌球運動的人數為_12__
答案 ：12
解析設兩者都喜歡的人數為人，則只喜愛籃球的有人，只喜愛桌球的有人，由此可得，解得，所以，即所求人數為12人。
例1．（2009廣東卷理）已知全集，集合和
的關係的韋恩（venn）圖如圖1所示，則陰影部分所示的集合的元素共有
a. 3個b. 2個
c. 1個d. 無窮多個
答案 b
解析由得，則，有2個，選b.
例2．(2009山東卷理)集合,,若,則的值
為a.0b.1c.2d.4
答案 d
解析 ∵,,∴∴,故選d.
【命題立意】:本題考查了集合的並集運算,並用觀察法得到相對應的元素,從而求得答案,本題屬於容易題.
題型2：集合的性質
例3．(2009山東卷理)集合,,若,則的值為
a.0b.1c.2d.4
答案 d
解析 ∵,,∴∴,故選d.
【命題立意】:本題考查了集合的並集運算,並用觀察法得到相對應的元素,從而求得答案,本題屬於容易題.
隨堂練習
1.( 廣東地區2023年01月份期末試題彙編)設全集u=r，a=，b=，則下圖中陰影表示的集合為
a．c．2. 已知集合a=,b=，若a∩b≠φ，則實數a的取值範圍為
分析：解決數學問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發，經過一系列的推理和運算，最後得到所要求的結論，但有時會遇到從正面不易入手的情況，這時可從反面去考慮．從反面考慮問題在集合中的運用主要就是運用補集思想．本題若直接求解，情形較複雜，也不容易得到正確結果，若我們先考慮其反面，再求其補集，就比較容易得到正確的解答．
解：由題知可解得a=如果，則這樣的實數是否存在？若存在，求出，若不存在，說明理由
解：∵；
∴，即＝0，解得
當時，，為a中元素；
當時，當時，
∴這樣的實數x存在，是或。
另法：∵
∴，∴＝0且
∴或。點評：該題考察了集合間的關係以及集合的性質。分類討論的過程中「當時，」不能滿足集合中元素的互異性。此題的關鍵是理解符號是兩層含義：。
變式題：已知集合，,,求的值。
解：由可知，
（1），或（2）
解（1）得，
解（2）得，
又因為當時，與題意不符，
所以，。
題型3：集合的運算
例5．(2023年河南省上蔡一中高三月考)已知函式的定義域集合是a,函式的定義域集合是b
（1）求集合a、b
（2）若ab=b,求實數的取值範圍．
解 （1）a＝
b＝（2）由ab＝b得ab，因此
所以,所以實數的取值範圍是
例6．（2009寧夏海南卷理）已知集合,則( )
ab.cd.
答案 a
解析易有，選a
點評：該題考察了集合的交、補運算。
題型4：**法解集合問題
例7．（2023年廣西北海九中訓練）已知集合m=，n=，則
ab．cd． 答案 c
例8．湖南省長郡中學2008屆高三第六次月考試卷數學（理）試卷
設全集，函式的定義域為a，集合，若恰好有2個元素，求a的取值集合。
解：時， ∴∴，∴
∴當時，在此區間上恰有2個偶數。
2、，其中，由中的元素構成兩個相應的集合：
，．其中是有序數對，集合和中的元素個數分別為和．若對於任意的，總有，則稱集合具有性質．
（i）對任何具有性質的集合，證明：；
（ii）判斷和的大小關係，並證明你的結論．
解：（i）證明：首先，由中元素構成的有序數對共有個．
因為，所以；
又因為當時，時，，所以當時，．
從而，集合中元素的個數最多為，
即．（ii）解：，證明如下：
（1）對於，根據定義，，，且，從而．
如果與是的不同元素，那麼與中至少有乙個不成立，從而與中也至少有乙個不成立．
故與也是的不同元素．
可見，中元素的個數不多於中元素的個數，即，
（2）對於，根據定義，，，且，從而．如果與是的不同元素，那麼與中至少有乙個不成立，從而與中也不至少有乙個不成立，
故與也是的不同元素．
可見，中元素的個數不多於中元素的個數，即，
由（1）（2）可知，．
例9．向50名學生調查對a、b兩事件的態度，有如下結果贊成a的人數是全體的五分之三，其餘的不贊成，贊成b的比贊成a的多3人，其餘的不贊成；另外，對a、b都不贊成的學生數比對a、b都贊成的學生數的三分之一多1人。問對a、b都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？
解：贊成a的人數為50×=30，贊成b的人數為30+3=33，如上圖，記50名學生組成的集合為u，贊成事件a的學生全體為集合a；贊成事件b的學生全體為集合b。
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