第二講圓（二）
【典型例題1】
已知：如圖1，在△abc中，ab = ac，點d是邊bc的中點．以bd為直徑作圓o，交邊ab於點p，聯結pc，交ad於點e．
（1）求證：ad是圓o的切線；
（2）當時，求證：；
（3）如圖2，當pc是圓o的切線，bc = 8，求ad的長．
（1）證明：∵ab = ac，點d是邊bc的中點，∴ad⊥bd．
又∵bd是圓o直徑，∴ad是圓o的切線．
（2）證明：聯結op．
ab = ac，∴
ob = op，∴，即得．
又由ad⊥bd，得．
ed // po． ∴
∵點d是邊bc的中點，點o是bd的中點，∴cd = 2do．
∴． （3）解：聯結op，oe．
由bc = 8，得cd = 4，oc = 6，op = 2．
∵pc是圓o的切線，o為圓心，∴．
於是，利用勾股定理，得．
∵，，∴△dce∽△pco．
∴，即得．
∵pe、de是圓o的切線，
∴∠ope=∠ode=900,又op=od,oe=oe
∴rt△ope≌rt△ode ∴∠poe=∠doe
∵ob=op , ∠b=∠opb
∵∠poe+∠doe=∠b+∠opb
∴．∴oe // ab．
∴ ∴．
【知識點】
切線、切線的判定定理、切線的性質定理
如果一條直線和圓有且只有乙個公共點時，這條直線叫做圓的切線。
切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
切線的性質定理：圓的切線垂直於過切點的半徑。
【基本習題限時訓練】
1.已知⊙o的半徑為3cm，點p是直線l上一點，op長為5cm，則直線l與⊙o的位置關係為（ ） d
a. 相交b. 相切
c. 相離d. 相交、相切、相離都有可能
2.如圖，p為⊙o外一點，pa切⊙o於點a，且op=5，pa=4，則sin∠apo等於（ ）b
abcd、
3.如圖，ab與⊙o切於點b，ao＝6㎝，ab＝4㎝，則⊙o的半徑為（ ）b
a.4㎝ b.2㎝ c.2㎝ d.㎝
4.直線ab、cd相交於點，，半徑為1cm的⊙p的圓心在射線上，且與點的距離為6cm．如果⊙p以1cm/s的速度沿由向的方向移動，那麼（ a ）秒後⊙p與直線相切．
ａ．4 ｂ．8 ｃ．4或64或8
5已知⊙o的直徑ab與弦ac的夾角為35°，過c點的切線pc與ab的延長線交於點p，則∠p等於b
a、15° b、20c、25d、30°
【壓軸題1】
已知, ,取含角的直角三角尺,將的頂點放在bc中點o處,並繞點o處順時針旋轉三角尺,當角的兩邊分別與ab、ac交於點e、f 是,如圖13,設.
(1)求與的函式解析式,並寫出的範圍;
(2) 三角尺繞點o旋轉過程中,能否成為等腰三角形.如果能,求出相應的值;如果不能,請說明理由;
(3)如果以o為圓心的圓與ab相切,**三角尺繞點o旋轉的過程中,ef與圓o的位置關係.
解:(1) 在中
又在中在和中且∽
在中整理得(2) 當時即， 代入得時
在和中，，
是等腰三角形
當點e與a重合時即
在中且ao是的平分線
是等腰三角形
當點f與a重合時即同理可得是等腰三角形
∴當,或時，是等腰三角形。
(3)由（1）知∽
又 且∽eo是的平分線點o到ef和be的距離相等
當以為圓心的圓ab與相切時也與ef相切
【典型例題2】
已知⊙和⊙只有乙個公共點， cm，⊙的半徑為4cm，
求⊙的半徑。
解： 設⊙和⊙半徑分別為和。
（1）如圖（1）當⊙和⊙外切時，（cm）
∴（cm）
（2）如圖（2），當⊙和⊙內切時，（cm）
∴（cm）
點評：兩圓只有乙個公共點，即相切，有外切與內切兩種情況。
【知識點】
圓與圓的位置關係
如果兩圓的半徑分別為和，圓心距為，那麼兩圓的位置關係可用、和之間的數量關係表達如下：
兩圓外離d＞+
兩圓外切d=+
兩圓相交︱-︱＜d＜+
兩圓內切0＜d=︱-︱
兩圓內含0≤d＜︱-︱
定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。
定理：相切兩圓的連心線經過切點
…【基本習題限時訓練】
1. 若兩圓的半徑分別是2cm和3cm，圓心距為5cm，則這兩圓的位置關係是( )c
a．內切 b．相交 c．外切 d．外離
2.如圖，是北京奧運會自行車比賽專案標誌，則圖中兩輪所在圓的位置關係是（ ）d
a．內含 b．相交 c．相切 d．外離
3．已知兩圓的半徑分別為6和8，圓心距為7，則兩圓的位置關係是 ( ) c
a．外離b．外切c．相交d．內切
4．若兩圓的半徑分別是1cm和5cm，圓心距為3cm，則這兩圓的位置關係是（ ）a
a．內含 b．相交 c．外切 d．外離
【壓軸題2】
已知：如圖，在△abc中，∠a=90，bc=4，⊙a與⊙b內切，⊙a與⊙c外切於點d，⊙b、⊙c的半徑均為1．
求：（1）⊙a的半徑；
（2）的值．
解：（1）設⊙a的半徑為r，
∵⊙a與⊙b內切，⊙a與⊙c外切於點d，⊙b、⊙c的半徑均為1，
∴ab=r1，ac=r+1．
∵∠a=90，bc=4，∴，
∴解得r=（負值捨去）．∴⊙a的半徑為．
（2）∵⊙a與⊙c外切於點d，∴點d在ac上．
在rt△adc中，∵ad=，ab=，
∴．【典型例題3】
如圖，梯形abcd中，ad//bc，cd⊥bc，已知ab=5，bc=6，cosb=．點o為bc邊上的動點，聯結od，以o為圓心，bo為半徑的⊙o分別交邊ab於點p，交線段od於點m，交射線bc於點n，聯結mn．
（1） 當bo=ad時，求bp的長；
（2） 點o運動的過程中，是否存在bp=mn的情況？若存在，請求出當bo為多長時bp=mn；若不存在，請說明理由；
（3） 在點o運動的過程中，以點c為圓心，cn為半徑作⊙c，請直接寫出當⊙c存在時，⊙o與⊙c的位置關係，以及相應的⊙c半徑cn的取值範圍。
解：（1）過點a作ae⊥bc,在rt△abe中，由ab=5，cosb=得be=3
∵cd⊥bc，ad//bc，bc=6，∴ad=ec=bc-be=3
當bo=ad=3時， 在⊙o中，過點o作oh⊥ab,則bh=hp
bh= ∴bp=
（2）不存在bp=mn的情況
假設bp=mn成立，∵bp和mn為⊙o的弦，則必有∠bop=∠doc
過p作pq⊥bc，過點o作oh⊥ab,∵cd⊥bc，則有△pqo∽△doc
設bo=x，則po=x,由，得bh=,
∴bp=2bh= ∴bq=bp×cosb=，
pq=，∴oq=
∵△pqo∽△doc，∴即，得
當時，bp==＞5=ab，與點p應在邊ab上不符，
∴不存在bp=mn的情況
（3）情況一：⊙o與⊙c相外切，此時，0＜cn＜6；
情況二：⊙o與⊙c相內切，此時，0＜cn≤
【知識點】
圓的基本性質、圓與圓相切
垂徑定理：如果圓的一條直徑垂直於一條弦，那麼這條直徑也平分這條弦，並平分這條弦所對的弧
圓與圓相切：外切時圓心距等於半徑之和，內切時圓心距等於半徑之差的絕對值。
【基本習題限時訓練】
1.已知⊙o 1與⊙o2的半徑分別為5cm和3cm，圓心距o1o2=7cm，則兩圓的位置關係為（c ）
a．外離 b．外切 c．相交 d．內切
2.兩圓的圓心距為1，兩圓的半徑分別是方程的兩個根，則兩圓的位置關係是（ ）c
a．相交 b．外離 c．內含 d．外切
3.⊙o1和⊙o2的半徑分別為5和2，o1o2＝3，則⊙o1和⊙o2的位置關係是（ ）b
a.內含 b. 內切 c.相交 d.外切
4．兩圓的半徑分別為2和3，圓心距為5，則兩圓的位置關係為（ ）b
a．外離 b．外切 c．相交 d．內切
【壓軸題3】
在直角座標平面內，為原點，點的座標為（1，0），點的座標為（0，4），直線∥軸（如圖所示）.點與點關於原點對稱，直線（為常數）經過點，且與直線相交於點，聯結.
（1）求的值和點的座標；
（2）設點在軸的正半軸上，若是
等腰三角形，求點的座標；
（3）在（2）的條件下，如果以為半徑的
圓與圓外切，求圓的半徑.
解：（1）∵點a的座標為（1，0），點與點關於原點對稱，
∴點b的座標為（-1，0），
∵直線經過點b，∴，得.
∵點c的座標為（0，4），直線cm∥軸，∴設點d的座標為（，4）
∵直線與直線cm相交於點d，∴，∴d的座標為（3，4）
（2）∵d的座標為（3，4），∴.
當時，點的座標為；
當時，點的座標為；
當時，設點的座標為（），
∴，得，∴點的座標為
綜上所述，所求點的座標是，，.
（3）當以為半徑的圓與圓外切時，
若點的座標為（6，0），則圓的半徑，圓心距，所以圓的半徑.
若點的座標為，則圓的半徑，圓心距，
∴圓的半徑.
綜上所述，所求圓的半徑等於1或.
【典型例題4】
如圖，中，，，點在邊上，且，以
點為頂點作，分別交邊於點，交射線於點．
（1）當時，求的長
（2）當以點為圓心長為半徑的⊙和以點為圓心長為半徑的⊙相切時，
求的長（3）當以邊為直徑的⊙與線段相切時，求的長．
解：（1）∵，
∴∽∴，即∴，∴
（2）分外切和內切兩種情況考慮：
當⊙和⊙外切時，點**段上，且
∵，∴即，∴當⊙和⊙內切時，點**段延長線上，且
初三複習第二講實數
1.2013大慶 若實數a滿足a a 2a，則 2.下列說法錯誤的是 3.2013菏澤 如圖，數軸上的a b c三點所表示的數分別是a b c，其中ab bc，如果 a b c 那麼該數軸的原點o的位置應該在 4.已知a為實數，則下列四個數中一定為非負實數的是 5.若m n滿足 2m 1 n 2 2...
初三數學中考總複習輔導之八圓
初三數學輔導班學習資料8圓 學校姓名 一 知識點 1 與圓有關的角 圓心角 圓周角 1 圖中的圓心角圓周角 2 如圖，已知 aob 50度，則 acb度 3 在上圖中，若ab是圓o的直徑，則 aob 度 2 圓的對稱性 1 圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條的直線 圓是中心對稱圖形，對稱中心為 2 ...
初三數學圓的綜合複習
圓綜合複習 一 本章知識框架 二 本章重點 1 圓的定義 1 線段oa繞著它的乙個端點o旋轉一周，另乙個端點a所形成的封閉曲線，叫做圓 2 圓是到定點的距離等於定長的點的集合 2 與圓有關的角 1 圓心角 頂點在圓心的角叫圓心角 圓心角的性質 圓心角的度數等於它所對的弧的度數 2 圓周角 頂點在圓上...