第一章認識三角形
1.1認識三角形
學習目標
1. 掌握三角形的概念，並能用符號正確表示三角形。
2. 能夠正確地按角將三角形進行分類。
3. 理解三角形的三邊關係，並利用其進行計算。
4. 理解三角形的角平分線、中線和高線的概念，會用量角器、三角尺等工具畫三角形。
知識點1. 定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫三角形。
「三角形」 用符號「△」表示，頂點是abc的三角形記做「△abc」讀作「三角形abc」。三角形基本元素（三條邊、三個內角、三個頂點）
三角形內角和為180°
2. 性質：三角形任何兩邊之和大於第三邊；三角形的任何兩邊之差小於第三邊（兩點之間線段最短） ★注：判斷三條線段能否組成三角形，只有把最長的一條線段與另外兩條線段的和作比較。
3. 按角進行分類：
銳角三角形（三角形的三個內角都小於90°）；
直角三角形（三角形有乙個角是90°）；（記作rt△abc）
鈍角三角形（三角形有乙個角大於90°）。
4. ★三角形的角平分線、中線和高線
角平分線定義：在三角形中，乙個內角的角平分線與它的對邊相交，這個角的定點與交點之間的線段就叫三角形的角平分線。
中線定義：在三角形中，連線乙個頂點與它對邊中點的線段叫做這個三角形的中線。
高線定義：從三角形的乙個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，定點和垂足之間的線段叫做三角形的高。
★重要性質： 1角平分線上的點到角的兩邊距離相等。
2中線平分與它相交的邊。
3乙個三角形有三條角平分線、三條中線，並且都在三角形內部，交於一點。
4三種三角形都有三條高線，且其所在直線都交於一點。高線是頂點到對邊所在直線的垂線段，所以垂足有可能在邊的延長線上。
5.三角形的面積：三角形的面積等於底乘於高除以2。
★同高等底的兩個三角形面積相等。三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形。
1.2定義與命題
學習目標
1. 了解定義、命題的意義
2. 會區分命題的條件和結論
3. 會在簡單情況下判斷乙個命題的真假
4. 了解反例的作用，知道利用反例可以判斷乙個命題是錯誤的
知識點1. 定義：一般地，能清楚地規定某一名稱或術語的意義的句子叫做該名稱或術語的定義。（例如：「在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線」，「無限不迴圈小數叫做無理數」）
★注意： 定義的常用敘述方式有「……叫做……」」……叫……「」……是……」等。 定義是嚴密的，通常有以上幾種判斷動詞。
2. 命題：一般地，判斷某一件事情的句子叫做命題。
★注意：命題必須是乙個完整的句子，是對某一件事情作出了正確或不正確的判斷，或者說作出了肯定或否定的判斷。
3. 命題的構成——條件與結論
命題由條件和結論兩部分組成，條件是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，這種命題通常可以寫成「如果……那麼……」的形式，其中以「如果」開始部分為條件，「那麼」後面的部分是結論。
★注意：有一些命題的敘述，其條件和結論並不那麼分明，我們可以先把它改寫為「如果……那麼……」的形式，再找其條件和結論。
4．真命題和假命題
正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題。
★ 舉反例：舉乙個例子，若符合該命題的條件，而不符合該命題的結論，這種例子叫做反例，這種方法稱為舉反例。
★要說明乙個命題是假命題，通常舉乙個反例即可。
★命題是判斷一件事情的句子，即命題一定要對某件事情下結論，不管這個結論是對還是錯。
1.3 證明
學習目標
1. 知道證明的意義和證明的必要性
2. 知道證明的過程及書寫格式
3. 會證明三角形的內角和定理
4. 知道三角形的外角及外角的性質
知識點1. 證明
要判斷乙個命題是真命題，往往需要從命題的條件出發，根據已知的定義、基本事實、定理（包括推論），一步步推得結論成立，這樣的推理過程叫做證明。
2. 三角形的外角及外角的性質
外角：由三角形的一條邊的延長線和另一條相鄰的邊組成的角叫該三角形的外角。
3.重要結論：
a．三角形三個內角的和等於180°；
b．三角形的乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
c. 三角形的乙個外角大於任何乙個和它不相鄰的內角。
d.三角形的外角和為360°
4. 證明幾何命題的一般格式
（1）按題意畫出圖形。
（2）分清命題的條件和結論，結合圖形，在「已知」中寫出條件，在「求證」中寫出結論。
（3）在「證明」中寫出推理過程。
注意：1.有些題目已經畫好圖形，寫好已知和求證，這是只要寫出「證明」一步即可。
2.在解決幾何問題時，有時需要新增輔助線，新增輔助線的過程要寫入證明中，輔助線通常畫成虛線。
1.4全等三角形+1.5三角形全等的判斷
1. 全等三角形
定義： 1能夠重合的兩個圖形稱為全等圖形；
全等用符號「≌」表示，讀做「全等於「
2能夠重合的兩個三角形形稱為全等三角形
3兩個全等三角形重合時，能互相重合的頂點叫做全等三角形的對應頂點；互相重合的邊叫做全等三角形的對應邊；互相重合的角叫做全等三角形的對應角。
性質：★全等三角形的對應邊相等，對應角相等。
★三角形全等的條件
1三邊對應相等的兩個三角形全等（簡稱「邊邊邊」或「sss」） ；
2有乙個角和夾這個角的兩邊對應相等的兩個三角形全等（簡稱「邊角邊」或「sas」）；
3有兩個角和這個兩角的夾邊對應相等的兩個三角形全等（簡稱「角邊角」或「asa」）；
4有兩個角和其中乙個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（簡稱「角角邊」或「aas」）；
5hl（rt△）； （兩rt△三角形一條斜邊與一條直角邊對應相等則兩三角形全等）
定義：垂直於平分線：垂直於一條線段，並且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線。
垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等。 1.6尺規作圖作法：
例題1 下面三種說法：①兩個能夠重合的三角形是全等三角形；②全等三角形的形狀和大小相同；③全等三角形的面積相等。其中正確的說法有（ ）
a、3個b、2個c、1個d、0個
例題2 若三角形的周長為17，且三邊長都是正整數，那麼滿足條件的三角形有多少個？
例題3 如圖，ad⊥bc，∠1=∠2 ，∠c=65°，求∠bac的度數。
例題4 如圖，已知：△abc中，bd、ce分別是△abc的兩條角平分線，相交於點o。
（1）當∠abc=60°,∠acb=80°時，求∠boc的度數；
（2）當∠a=40°時，求∠boc的度數；
（3）當∠a=x時，求∠boc的度數(用含x代數式表示）。
例題5 已知△abc中，ac=5cm。中線ad把△abc分成兩個小三角形，這兩個小三角形的周長的差是2cm。你能求出ab的長嗎？
例題6 如圖，把兩根鋼條aaˊ，bbˊ的中點連在一起，可以做成乙個測量工件內槽寬的卡鉗。只要測量出aˊbˊ的長就知道內槽ab的寬。請說明理由。
例題7 一塊三角形玻璃不小心摔成如圖三片。只需帶上其中的一片，玻璃店的師傅就能重新配一塊與原來相同的三角形玻璃。你知道應帶哪一片碎玻璃嗎？請說明理由。
例題8 如圖，點p是∠bac的平分線上的一點，pb⊥ab，pc⊥ac，若pc=3cm，則點p到ab的距離是多少？
例題9 1.已知△adf≌△cbe，則結論：①af=ce ②∠1=∠2 ③be=cf ④ae=cf，正確的個數是( )
（ａ）1個（ｂ）2個（ｃ）3個（ｄ）4個
例題10 如圖，要說明△abd≌△ace，還需增加兩個什麼條件？
（1）（2）
例題11 已知∠、∠和線段a，用直尺和圓規作△abc，使∠a ＝∠，∠b = ∠，ab = a。
例題12 如圖，已知ab=dc，ad=bc,說出下列判斷成立的理由：
(1) △abc≌△cda (2) ∠b=∠d
例題13 如圖，△abc中，ad垂直平分bc,h是ad上一點，連線bh,ch.
(1)ad平分∠bac嗎？為什麼？
(2)你能找出幾堆相等的角？請把它們寫出來（不需寫理由）。
例題14 如圖，把大小為4×4的正方形方格圖形分別分割成兩個全等圖形，例如圖①，請在下圖中，沿著虛線畫出四種不同的分法，把4×4的正方形分割成兩個全等圖形。
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