§3 基本不等式
第1課時基本不等式
知能目標解讀
1.理解基本不等式，並掌握基本不等式的幾何意義.
2.掌握基本不等式成立的條件；能應用基本不等式解決求最值、證明不等式、比較大小、求取值範圍等問題.
3.在使用基本不等式過程中，要注意定理成立的條件，在解題時，常採用配湊的方法，創造條件應用均值不等式.
重點難點點撥
重點：理解並掌握基本不等式，借助幾何圖形說明基本不等式的意義，並用基本不等式求最值.
難點：利用基本不等式求最值時,等號成立的條件.
學習方法指導
一、基本不等式
1.基本不等式：如果a,b都是非負數，那麼≥,當且僅當a=b時，等號成立，我們稱上述不等式為基本不等式.
其中稱為a,b的算術平均數，稱為a,b的幾何平均數，因此，基本不等式又稱為均值不等式.
2.重要不等式：如果a,b∈r,那麼a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時，取"＝"）.
證明：a2+b2-2ab=(a-b) 2,
當a≠b時，（a-b）2>0；當a=b時，（a-b）2＝0.
所以（a-b）2≥0,即a2+b2≥2ab.
3.基本不等式的幾何解釋：
基本不等式一種幾何解釋如下：
以a+b長的線段為直徑作圓，在直徑ab上取點c，使ac=a,cb=b.過點c作垂直於直徑ab的弦dd′，鏈結ad、db，易證rt△acd∽rt△dcb,則
cd２=ca·cb,即cd=.
這個圓的半徑為，顯然，它大於或等於cd，即≥，
其中，當且僅當點c與圓心重合，即a=b時，等號成立.
以上我們從幾何圖形中進行了解釋，獲得了不等式≤（a≥0,b≥0）.
其實質是：在同一圓中，半徑不小於半弦，或者直角三角形斜邊的一半不小於斜邊上的高.
4.關於a2+b2≥2ab和≥（a,b>0）
（1）兩個不等式：a2+b2≥2ab與≥成立的條件是不同的，前者要求a,b都是實數，後者則要求a,b都是正數.
如：（-3）2+（-4）2≥2×（-3）×（-4）是成立的，
而≥是不成立的.
注意：(1)要在理解的基礎上，記準這兩個不等式成立的條件.
(2)兩個不等式：a2+b2≥2ab，≥都是帶有等號的不等式.「當且僅當a=b時取『＝』」這句話的含義是「a=b」時，a2+b2≥2ab，≥中只有等號成立，反之，若a2+b2≥2ab,≥中的等號成立時,必有「a=b」，這一條件至關重要，忽略它，往往會導致解題的失誤.
（3）兩個不等式的應用
兩個不等式的結構都是一邊為「和式」，另一邊為「積式」，因此兩個不等式都具有將「和式」化為「積式」以及將「積式」化為「和式」的放縮功能，可證明不等式.利用等號成立的條件，可求最大、最小值.
二、利用基本不等式求最大（小）值
利用基本不等式≥，在求某些簡單的最大（小）值問題時，很有應用價值.一般地： x,y都為正數時，
（1）若x+y=s（和為定值），則當x=y時，積xy取得最大值;
（2）若xy=p（積為定值），則當x=y時，和x+y取得最小值2.
證明：∵x,y都為正數，
∴≥(1)和式為定值s時，有≤，
∴ xy≤s2.上式當「x=y」時取「＝」號，因式當x=y時，積xy有最大值s2；
(2)積式xy為定值p時，有≥,
∴x+y≥2.
上式當「x=y」時取「＝」，因此，當x=y時，和x+y有最小值2.
注意：（1）在應用均值不等式≤求最值時，需滿足三個條件：「一正、二定、三相等」.「正」是所有變數均為正數，「定」是指變數的積或和為定值，「相等」是指等號成立的條件，以上三者，缺一不可.
(2)在有關證明或求最值時，不等式都可連續多次使用，但需注意的是等號成立是否矛盾，只有當各次應用基本不等式時"＝"號成立的條件一致時，「＝」才會取得，否則"＝"將不成立.
知能自主梳理
1.基本不等式
如果a,b都是非負數，那麼 ，當且僅當時，等號成立.此不等式稱為基本不等式，其中稱為a,b的算術平均數， 稱為a,b的幾何平均數.
2.利用基本不等式求最值
（1）兩個正數的和為定值時，它們的積有 ，即若a>0,b>0,且a+b=m,m為定值，則ab≤，等號當且僅當a=b時成立.
（2）兩個正數的積為定值時，它們的和有 ，即若a>0,b>0,且ab=p,p為定值，則a+b≥ ,等號當且僅當a=b時成立.
［答案］ 1.≥ a=b
2.(1)最大值 (2)最小值 2
思路方法技巧
命題方向利用基本不等式比較代數式的大小
［例1］ 已知0＜a＜1,0［分析］ 由已知a,b均為正數，且四個式子均為基本不等式中的式子或其變形，可用基本不等式來加以解決.
［解析］ 方法一：∵a>0,b>0,
∴a+b≥2,
a2+b2≥2ab,
∴四個數中最大數應為a+b或a2+b2.
又∵0＜a＜1,0∴a2+b2-(a+b)=a2-a+b2-b
=a(a-1)+b(b-1)<0,
∴a2+b2方法二：令a=b=,
則a+b=1,2=1,
a2+b2=,
2ab=2××=,再令a=,b=,a+b=+=,2=2＝，
∴a+b最大.
［說明］ 運用基本不等式比較大小應注意等號成立的條件.特殊值法是解決不等式的乙個有效方法，但要使特殊值具有一般性.
變式應用1
已知m=a+ (a>2),n=22-b2 (b≠0),則m、n的大小關係是（ ）
>不確定
［答案］ a
［解析］ ∵a>2,∴a-2>0,
又∵m=a+=(a-2)+ +2≥２ +2=4,當且僅當a-2=,即（a-2）2=1,又a-2>0，∴a-2=1,即a=3時取等號.
∴m≥4.
∵b≠0,
∴b2≠0,
∴2-b2<2,
∴22-b2<4,即n<4，
∴m>n.
命題方向利用基本不等式求最值
［例2］ （1）若x>0，求函式f(x)= +3x的最小值；
（2）若x<0，求函式f(x)= +3x的最大值.
［分析］ 利用基本不等式求最值，必須同時滿足3個條件：①兩個正數；②其和為定值或積為定值；③等號必須成立.三個條件缺一不可.對（1），由x>0,可得》0,3x>0.又因為
·3x=36為定值，且=3x(x>0)時，x=2,即等號成立，從而可利用基本不等式求最值.對（2），由x<0，得<0,3x<0,所以->0,-3x>0,所以對 (-)+(-3x)可利用基本不等式求最值.
［解析］ （1）因為x>0，所以》0,3x>0,
所以f(x)= +3x≥2=2=12.
當且僅當=3x,即x=2時，等號成立.
所以當x=2時，f(x)取得最小值12.
（2）因為x<0,所以-x>0,
所以-f(x)= (-)+(-3x)≥2=12,所以f(x)≤-12 .
當且僅當-=-3x,即x=-2時，等號成立.
所以當x=-2時，f(x)取得最大值-12.
［說明］ 利用基本不等式求函式最值時，要注意體會「一正、二定、三相等」，當兩個數均為負數時，首先將它們變為正數，即在前面加乙個負號，再利用基本不等式求解.
變式應用2
設x>0，求y=2-x-的最大值.
［解析］ ∵x>0,∴x+≥2=4,∴y=2- (x+)≤2-4=-2.當且僅當x=，即x=2時等號成立，y取最大值-2.
［例3］ （1）已知x<，求函式y=4x-2+的最大值；
（2）已知0［分析］ 此題不容易看出積或和為定值，必須對函式解析式進行拼湊，讓其產生定值. ［解析］ （1）因為x<，所以4x-5<0,即5-4x>0,
所以y=4x-2+=- (5-4x+)+3.
因為5-4x+≥2=2,
所以y≤-2+3=1,當且僅當5-4x=,即x=1時等號成立，所以當x=1時，函式y取得最大值1.
（2）因為00,
所以y=x (1-3x)=·3x(1-3x)≤2=.
當且僅當3x=1-3x,即x=時等號成立，
所以當x=時，函式y取得最大值.
［說明］ 解決本題的關鍵是拼湊.（1）中將4x-2拼湊成4x-5.(2)中將x拼湊成3x,從而可產生定值.（1）中是積為定值.（2）中是和為定值.
變式應用3
求函式y=+x(x>3)的最小值.
［解析］ y=+x=+(x-3)+3,
∵x>3,∴x-3>0,
∴+(x-3)≥2=2,
當且僅當=x-3,即x-3=1,
x=4時，等號成立.
∴當x=4時，函式y=+x(x>3)取最小值2+3=5.
命題方向利用基本不等式解決有關實際應用問題
［例4］ 某商品進貨價為每件50元，據市場調查，當銷售**每件x元（50［分析］ 首先據題意建立關於利潤的函式模型，利潤＝銷售件數×（銷售**-進貨**）.再應用基本不等式解決最值問題.
［解析］ 解法一：由題意知利潤
s=（x-50）·
=(x-50)·
=. ∵x-50≥0，
∴（x-50）+≥20.
∴s≤＝2500，
當且僅當（x-50）＝，
即x=60或x=40（不合題意捨去）時取=.
解法二：由題意知利潤
s=（x-50）·
令x－50＝t，x=t+50（t>0），
則s==
=≤＝2500.
當且僅當t=，即t=10時取等號，此時x=60.
答：當銷售**定為60元時，每天獲得的利潤最多.
［說明］ 1.解實際應用問題要遵循以下幾點：
（1）在理解題意的基礎上設變數，設變數時一定要把求最大值或最小值的變數定義為函式；
（2）建立相應的函式解析式，將實際應用問題轉化，抽象為函式的最大值或最小值問題（純數學問題）；
（3）在定義域內（使實際問題有意義的自變數取值範圍）求出函式的最大值、最小值； （4）回到實際問題中，寫出正確答案.
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