中考壓軸題分類綜合
第一部分函式圖象中點的存在性問題
§1.1 因動點產生的相似三角形問題
1.2 因動點產生的等腰三角形問題
1.3 因動點產生的直角三角形問題
1.4 因動點產生的平行四邊形問題
1.5 因動點產生的梯形問題
1.6 因動點產生的面積問題
1.7 因動點產生的線段和差問題
第二部分圖形運動中的函式關係問題
2.1 由比例線段產生的函式關係問題
2.2 由面積公式產生的函式關係問題
第三部分圖形運動中的計算說理問題
3.1 代數計算及通過代數計算進行說理問題
3.2 幾何證明及通過幾何計算進行說理問題
第四部分圖形的平移、翻摺與旋轉
4.1 圖形的平移
4.2 圖形的翻摺
4.3 圖形的旋轉
§1.1因動點產生的相似三角形問題
c1 2023年義烏市中考第24題
如圖1，已知梯形oabc，拋物線分別過點o（0，0）、a（2，0）、b（6，3）．
（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點m的座標；
（2）將圖1中梯形oabc的上下底邊所在的直線oa、cb以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線於點o1、a1、c1、b1，得到如圖2的梯形o1a1b1c1．設梯形o1a1b1c1的面積為s，a1、 b1的座標分別為 (x1，y1)、(x2，y2)．用含s的代數式表示x2－x1，並求出當s=36時點a1的座標；
（3）在圖1中，設點d的座標為(1，3)，動點p從點b出發，以每秒1個單位長度的速度沿著線段bc運動，動點q從點d出發，以與點p相同的速度沿著線段dm運動．p、q兩點同時出發，當點q到達點m時，p、q兩點同時停止運動．設p、q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線pq、直線ab、x軸圍成的三角形與直線pq、直線ab、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
圖1圖2
24．解：（1）
解析式：或2分
2）由題意得
31分得2分
得3分把②代入①並整理得： (s＞0) (事實上，更確切為s＞6)4分
當時， 解得： (注：s＞0或s＞6不寫不扣
分) 把代入拋物線解析式得 ∴點a1（6，3）………5分
3） 解法一：易知直線ab的解析式為，可得直線ab與對稱軸的
交點e的座標為
∴bd=5，de=，dp=5－t，dq= t
當∥時，
得………2分
下面分兩種情況討論: 設直線pq與直線ab、x軸的交點分別為點f、g
①當時，如圖1-1fqe∽△fag ∴∠fga＝∠feq
dpq＝∠deb 易得△dpq∽△deb ∴
∴ 得 ∴(捨去3分
2 當時，如圖1-2
∵△fqe∽△fag ∴∠fag＝∠fqe
dqp＝∠fqe ∠fag＝∠ebd
∴∠dqp＝∠dbe 易得△dpq∽△deb
當秒時，使直線、直線、軸圍成的三角形與直線、直線、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似4分
注:未求出能得到正確答案不扣分)
解法二：可將向左平移乙個單位得到,再用解法一類似的方法可求得
c2 2023年上海市閘北區中考模擬第25題
直線分別交x軸、y軸於a、b兩點，△aob繞點o按逆時針方向旋轉90°後得到△cod，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過a、c、d三點．
(1) 寫出點a、b、c、d的座標；
(2) 求經過a、c、d三點的拋物線表示式，並求拋物線頂點g的座標；
(3) 在直線bg上是否存在點q，使得以點a、b、q為頂點的三角形與△cod相似？若存在，請求出點q的座標；若不存在，請說明理由．
圖1（1） a(3，0)，b(0，1)，c(0，3)，d(－1，0)．
（2）§1.2因動點產生的等腰三角形問題
c3 2023年湖州市中考第24題
如圖1，已知正方形oabc的邊長為2，頂點a、c分別在x、y軸的正半軸上，m是bc的中點．p(0,m)是線段oc上一動點（c點除外），直線pm交ab的延長線於點d．
（1）求點d的座標（用含m的代數式表示）；
（2）當△apd是等腰三角形時，求m的值；
（3）設過p、m、b三點的拋物線與x軸正半軸交於點e，過點o作直線me的垂線，垂足為h（如圖2）．當點p從o向c運動時，點h也隨之運動．請直接寫出點h所經過的路長（不必寫解答過程）．
圖1圖2
如下圖連線mo 由題意可得∠mho=90° 所以h為以mo為直徑的圓(如圖為⊙p)上的點。(om由勾股定理可得為5) 那h點究竟是從**到**呢 (1)當p點與原點o重合時,可得點e(3,0) 再由點m(1,2)與可求出∠oeh=∠hoe=45°,此時∠coh=45°; (2)當p點接近c點時e點橫座標為無窮大則me幾乎與cb平行,此時h點幾乎與c重合。 因此oh與oc的夾角∠hoc的度數即為h轉動的角度弧ch 如圖紅色的那條就是點h的所經過的路徑長。
因為圓周角∠coh=45° 所
（10重慶潼南）如圖, 已知拋物線與y軸相交於c，與x軸相交於a、b，點a的座標為（2，0），點c的座標為（0，-1）.
(1）求拋物線的解析式；
(2）點e是線段ac上一動點，過點e作de⊥x軸於點d，鏈結dc，當△dce的面積最大時，求點d的座標；
(3）在直線bc上是否存在一點p，使△acp為等腰三角形，若存在，求點p的座標，若不存在，說明理由.
1拋物線方程為：y=1/2x-1/2x-1
2、根據a、c兩點座標，可以確定ac的直線方程為：
y=1/2x-1
由於點e在此直線上，點e的座標滿足此直線方程。
△dce的面積為e點的橫座標*縱座標/2，（取絕對值）
所以△dce的面積是：
1/2x*(1/2x-1)=1/4x-1/2x=1/4(x-1)-1/4
所以，當x=1時，△dce的面積有最大值1/4。此時，d點座標為(1，0)。
3.從圖中可以看出，線段bc上是不存在這樣的p點，可以使△acp成為等腰三角形。
bc所在的直線上是可以存在這樣的p點，並且有p1、p2、p3三個點都可以滿足。p1（1，-2）
p2（2.5，-3.5）p3（-1.58，0.58）
§1.3因動點產生的直角三角形問題
c5 (2010甘肅）(12分) 如圖，拋物線與x軸交於a（－1，0）、b（3，0）兩點，與y軸交於點c（0，－3），設拋物線的頂點為d．
（1）求該拋物線的解析式與頂點d的座標；
（2）以b、c、d為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什麼？
（3）**座標軸上是否存在點p，使得以p、a、c為頂點的三角形與△bcd相似？若存在，請指出符合條件的點p的位置，並直接寫出點p的座標；若不存在，請說明理由．
：（1） 拋物線的解析式為y = x2－2x－3． ………3分
（2）以b、c、d為頂點的三角形是直角三角形. …………5分
過點d分別作軸、 軸的垂線，垂足分別為e、f.
在rt△boc中，ob=3，oc=3，∴ . ………6分
在rt△cdf中，df=1，cf=of-oc=4-3=1，∴ . ………7分
在rt△bde中，de=4，be=ob-oe=3-1=2，∴ . ………8分
（3）連線ac，可知rt△coa∽ rt△bcd，得符合條件的點為o（0，0）． ………10分
過a作ap1⊥ac交y軸正半軸於p1，可知rt△cap1 ∽ rt△coa∽ rt△bcd，
求得符合條件的點為 ． ……11分
過c作cp2⊥ac交x軸正半軸於p2，可知rt△p2ca∽ rt△coa∽ rt△bcd，
求得符合條件的點為p2（9，0）． ……12分
∴符合條件的點有三個：o（0，0）， ，p2（9，0）.
§1.4 因動點產生的平行四邊形問題
c6 2023年河南省中考第23題
在平面直角座標系中，已知拋物線經過a(－4,0)、b(0,－4)、c(2,0)三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點m為第三象限內拋物線上一動點，點m的橫座標為m，△amb的面積為s．求s關於m的函式關係式，並求出s的最大值．
（3）若點p是拋物線上的動點，點q是直線y＝－x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點p、q、b、o為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點q的座標．
圖1圖2
（1）由待定係數法，將a（－4，0），b（0，－4），c（2，0）三個點的座標代入y=ax^2+bx+c（a≠0），建立方程組求解即可；（2）過m作x軸的垂線，設垂足為d．設點m的座標為（m，n），即可用含m的代數式表示md、od的長，分別求出△amd、梯形mdob、△aob的面積，那麼△amd、梯形mdob的面積和減去△aob的面積即為△amb的面積，由此可得關於s、m的函式關係式，根據函式的性質即可求得s的最大值．（3）解決此題需要充分利用平行四邊形的性質求解．設p（x， 1/2x2+x－4），①如圖1，當ob為邊時，根據平行四邊形的性質知pq∥ob，則q（x，－x）．由pq=ob即可求出結論；②如圖2，當ob為對角線時，那麼p、q的橫座標互為相反數（若p的橫座標為x，則q的橫座標為－x），即q（－x，x）．由p、o的縱座標差的絕對值等於q、b縱座標差的絕對值，得 1/2 x2+x－4=－4－x，求出x的值即可．
§1.5 因動點產生的梯形問題
c8 2023年義烏市中考第24題
已知二次函式的圖象經過a（2，0）、c(0，12) 兩點，且對稱軸為直線x＝4，設頂點為點p，與x軸的另一交點為點b．
（1）求二次函式的解析式及頂點p的座標；
年中考數學壓軸題及答案
1.2011年四川省宜賓市 已知 如圖,拋物線y x2 bx c與x軸 y軸分別相交於點a 1，0 b 0，3 兩點，其頂點為d.1 求該拋物線的解析式 2 若該拋物線與x軸的另乙個交點為e.求四邊形abde的面積 3 aob與 bde是否相似？如果相似，請予以證明 如果不相似，請說明理由.注 拋物...
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1 08濟寧 中，cm 長為1cm的線段在的邊上沿方向以1cm s的速度向點運動 運動前點與點重合 過分別作的垂線交直角邊於兩點，線段運動的時間為s 1 若的面積為，寫出與的函式關係式 寫出自變數的取值範圍 2 線段運動過程中，四邊形有可能成為矩形嗎？若有可能，求出此時的值 若不可能，說明理由 3 ...
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3.如圖，在中，分別是邊的中點，點從點出發沿方向運動，過點作於，過點作交於 當點與點重合時，點停止運動 設，1 求點到的距離的長 2 求關於的函式關係式 不要求寫出自變數的取值範圍 3 是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值 若不存在，請說明理由 例1.如圖，已知在矩形abcd...