2013中考全國100份試卷分類彙編
壓軸題分類彙編
1、（2023年濰坊市壓軸題）如圖，拋物線關於直線對稱，與座標軸交於三點，且,點在拋物線上，直線是一次函式的圖象，點是座標原點.
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線平分四邊形的面積，求的值.
（3）把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線與直線交於兩點，問在軸正半軸上是否存在一定點，使得不論取何值，直線與總是關於軸對稱？若存在，求出點座標；若不存在，請說明理由.
答案：（1）因為拋物線關於直線x=1對稱，ab=4，所以a(-1，0),b(3，0),
由點d(2，1.5)在拋物線上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,
又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,從而c=1.5,所以.
（2）由（1）知，令x=0,得c(0,1.5),所以cd//ab,
令kx-2=1.5,得l與cd的交點f()，
令kx-2=0，得l與x軸的交點e()，
根據s四邊形oefc=s四邊形ebdf得：oe+cf=df+be,
即： （3）由（1）知
所以把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為
假設在y軸上存在一點p(0，t)，t＞0，使直線pm與pn關於y軸對稱，過點m、n分別向y軸作垂線mm1、nn1，垂足分別為m1、n1，因為∠mpo=∠npo,所以rt△mpm1∽rt△npn1,
所以,………………(1)
不妨設m(xm,ym)在點n(xn,yn)的左側，因為p點在y軸正半軸上，
則（1）式變為,又ym =k xm-2, yn=k xn-2,
所以（t+2）(xm +xn)=2k xm xn,……(2)
把y=kx-2(k≠0)代入中，整理得x2+2kx-4=0,
所以xm +xn=-2k, xm xn=-4,代入（2）得t=2,符合條件，
故在y軸上存在一點p（0,2），使直線pm與pn總是關於y軸對稱.
考點：本題是一道與二次函式相關的壓軸題，綜合考查了考查了二次函式解析式的確定，函式圖象交點及圖形面積的求法，三角形的相似，函式圖象的平移，一元二次方程的解法等知識，難度較大.
點評：本題是一道集一元二次方程、二次函式解析式的求法、相似三角形的條件與性質以及質點運動問題、分類討論思想於一體的綜合題，能夠較好地考查了同學們靈活應用所學知識，解決實際問題的能力。問題設計富有梯度、由易到難層層推進，既考查了知識掌握，也考查了方法的靈活應用和數學思想的形成。
2、（綿陽市2023年）如圖，二次函式y=ax2+bx+c的圖象的頂點c的座標為（0，-2），交x軸於a、b兩點，其中a（-1，0），直線l：x=m（m＞1）與x軸交於d。
（1）求二次函式的解析式和b的座標；
（2）在直線l上找點p（p在第一象限），使得以p、d、b為頂點的三角形與以b、c、o為頂點的三角形相似，求點p的座標（用含m的代數式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內的點q，使△bpq是以p為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，請求出點q的座標；如果不存在，請說明理由。
解：（1）①二次函式y=ax2+bx+c圖象的頂點c的座標為（0，-2），c = -2 , -, b=0 ,
點a(-1,0)、點b是二次函式y=ax2-2 的圖象與x軸的交點，a-2=0,a=2. 二次函式的解析式為y=2x2-2；
②點b與點a(-1,0)關於直線x=0對稱，點b的座標為（1，0）；
（2）∠boc=∠pdb=90，點p在直線x=m上，
設點p的座標為（m,p）, ob=1， oc=2， db= m-1 , dp=|p| ，
①當△boc∽△pdb時，, ,p=或p =,
點p的座標為（m，）或（m，）；
②當△boc∽△bdp時，，，p=2m-2或p=2-2m,
點p的座標為（m，2m-2）或（m，2-2m）；
綜上所述點p的座標為（m，）、（m，）、（m，2m-2）或（m，2-2m）；
（3）不存在滿足條件的點q。
點q在第一象限內的拋物線y=2x2-2上，
令點q的座標為（x, 2x2-2），x>1, 過點q作qe⊥直線l ,
垂足為e，△bpq為等腰直角三角形，pb=pq，∠peq=∠pdb，
∠epq=∠dbp，△peq≌△bdp，qe=pd，pe=bd，
1 當p的座標為（m，）時，
m-xm=0m=1
2x2-2- = m-1, xx=1
與x>1矛盾,此時點q不滿足題設條件；
2 當p的座標為（m，）時，
x-mmm=1
2x2-2- = m-1xx=1
與x>1矛盾,此時點q不滿足題設條件；
3 當p的座標為（m，2m-2）時，
m-x =2m-2mm=1
2x2-2-(2m-2) = m-1, xx=1
與x>1矛盾,此時點q不滿足題設條件；
④當p的座標為（m，2-2m）時，
x- m = 2m-2mm=1
2x2-2-(2-2m) = m-1 xx=1
與x>1矛盾,此時點q不滿足題設條件；
綜上所述，不存在滿足條件的點q。
3、（2013昆明壓軸題）如圖，矩形oabc在平面直角座標系xoy中，點a在x軸的正半軸上，點c在y軸的正半軸上，oa=4，oc=3，若拋物線的頂點在bc邊上，且拋物線經過o，a兩點，直線ac交拋物線於點d．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點d的座標；
（3）若點m在拋物線上，點n在x軸上，是否存在以a，d，m，n為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點n的座標；若不存在，請說明理由．
4、（2013陝西）在平面直角座標系中，乙個二次函靈敏的圖象經過點a（1，0）、b（3，0）兩點．
（1）寫出這個二次函式的對稱軸；
（2）設這個二次函式的頂點為d，與y軸交於點c，
它的對稱軸與x軸交於點e，連線ad、de和db，
當△aoc與△deb相似時，求這個二次函式的表示式。
[提示：如果乙個二次函式的圖象與x軸的交點
為a，那麼它的表示式可表示
為：]考點：此題在陝西的中考中也較固定，第（1）問主要考查待定
係數法求二次函式的解析式，二次函式與座標軸的交點座標，
拋物線的對稱性等簡單問題。第二問主要考查二次函式綜合應用之點的存在性問題；包括最短距離與面積的最值等（等腰三角形，平行四邊形，正方形，相似三角形，相似，全等等問題。考查問題的綜合能力要求較高，基本上都是轉化為求點的座標的過程。
解析：本題中（1）由拋物線的軸對稱性可知，與x軸的兩個交點關於對稱軸對稱，易求出對稱軸；
（2）由提示中可以設出函式的解析式，將頂點d與e的座標表示出來，從而將兩個三角形的邊長表示出來，而相似的確定過程中充分考慮到分類即可解決此題；
解：（1）對稱軸為直線：x=2。
（2）∵a（1，0）、b（3，0），所以設即
當x=0時，y=3a，當x=2時，y=
∴c（0，3a），d(2,-a) ∴oc=|3a|,
∵a（1，0）、e（2，0），
∴oa=1,eb=1,de=}-a|=|a|
在△aoc與△deb中，
∵∠aoc=∠deb=90°
∴當時，△aoc∽△deb
∴時，解得或
當時，△aoc∽△bed
∴時，此方程無解，
綜上所得：所求二次函式的表示式為：
或5、（2013成都市壓軸題）在平面直角座標系中，已知拋物線（b,c為常數）的頂點為p,等腰直角三角形abc的頂點a的座標為（0，-1），c的座標為（4,3），直角頂點b在第四象限。
（1）如圖，若該拋物線過a,b兩點，求拋物線的函式表示式；
（2）平（1）中的拋物線，使頂點p在直線ac上滑動，且與ac交於另一點q.
i）若點m在直線ac下方，且為平移前（1）中的拋物線上點，當以m,p,q三點為頂點的三角形是等腰三角形時，求出所有符合條件的m的座標；
ii）取bc的中點n,連線np,bq。試**是否存在最大值？若存在，求出該最大值；所不存在，請說明理由。
解析：（1）a(0,-1) c(4,3) 則｜ac｜=
abc為等腰直角三角形 ∴ab=bc=4
∴b點(4,-1)將a,b代入拋物線方程有
∴（2）當頂點p在直線ac上滑動時，平移後拋物線與ac另一交點q就是a點沿直線ac滑動同樣的單位。下面給予證明：
原拋物線頂點p為(2,1)
設平移後頂點p為(a,a-1),則平移後拋物線聯立y=x-1(直線ac方程)
得q點為（a-2,a-3）
∴｜pq｜= 即實際上是線段ap在直線ac上的滑動.
ⅰ）點m在直線ac下方，且m,p,q構成等腰直角三角形，那麼先考慮使mp,q構成等腰直角三角形的m點的軌跡，再求其軌跡與拋物線的交點以確定m點.
①若∠m為直角，則m點軌跡即為ac下方距ac為mh且與ac平行的直線l
又知｜pq｜= ，則｜mh｜= ｜pm｜=2
直線l即為ac向下平移｜pm｜=2個單位 l:y=x-3 聯立
得x=1±
m點為（1+， -2）或（1-，--2）
②若∠p=或∠q為直角，即pq為直角邊，mq⊥pq且，mq=pq=
或mp⊥pq,且mp=pq=,∴m點軌跡是ac下方距ac為且與ac平行直線l
直線l即為ac向下平移｜mp｜=4個單位
l:y=x-5 聯立得x=4或x=-2
∴m點為(4,-1)或（-2，-7）
綜上所有符合條件的點m為（1+， -2）（4,-1）；（1-，--2）,（-2，-7）
ⅱ)知pq= 有最大值，即np+bq有最小值
如下圖，取ab中點m，鏈結qm,nm,知n為中點
∴mn為ac邊中位線，∴mn∥ac且mn=ac==pq
∴∴mnpq為平行四邊形
即pn=qm ∴qb+pn=bq+mq
此時，作b點關於ac對稱的點b′,連,
交ac於點h，易知=bq
∴bq+pn=+mq≥(三角形兩邊之和大於第三邊)
僅當q與h重合時，取等號
2019中考壓軸題突破
2014中考壓軸題突破 圖形運動產生的面積問題 一 知識點睛 1.研究 基本 圖形2.分析運動狀態 由起點 終點確定t的範圍 對t分段，根據運動趨勢畫圖，找邊與定點，通常是狀態轉折點相交時的特殊位置 3.分段畫圖，選擇適當方法表達面積 二 精講精練 1.已知，等邊三角形abc的邊長為4厘公尺，長為1...
2019中考壓軸題訓練
21 12分 如圖，等腰梯形abcd中，ad bc，b 45 p是bc邊上一點，pad的面積為，設ab x，ad y 1 求y與x的函式關係式 2 若 apd 45 當y 1時，求pbpc的值 3 若 apd 90 求y的最小值 20 如圖，ab為 o的直徑，c為 o上一點，ad和過c點的切線互相垂...
2019中考數學壓軸題練習
1.某數學興趣小組開展了一次活動，過程如下 設 bac 0 90 現把小棒依次擺放在兩射線ab，ac之間，並使小棒兩端分別落在兩射線上.活動一 如圖甲所示，從點a1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在兩端點處互相垂直，a1a2為第1根小棒.數學思考 1 小棒能無限擺下去嗎？答填 能 或 不能 2 ...