2013中考數學壓軸題:函式相似三角形問題(一)
例1直線分別交x軸、y軸於a、b兩點，△aob繞點o按逆時針方向旋轉90°後得到△cod，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過a、c、d三點．
(1) 寫出點a、b、c、d的座標；
(2) 求經過a、c、d三點的拋物線表示式，並求拋物線頂點g的座標；
(3) 在直線bg上是否存在點q，使得以點a、b、q為頂點的三角形與△cod相似？若存在，請求出點q的座標；若不存在，請說明理由．
圖1動感體驗
請開啟幾何畫板檔名「11閘北25」， 拖動點q在直線bg上運動， 可以體驗到，
△abq的兩條直角邊的比為1∶3共有四種情況，點b上、下各有兩種．
思路點撥
1．圖形在旋轉過程中，對應線段相等，對應角相等，對應線段的夾角等於旋轉角．
2．用待定係數法求拋物線的解析式，用配方法求頂點座標．
3．第（3）題判斷∠abq＝90°是解題的前提．
4．△abq與△cod相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點q與點b的位置關係分上下兩種情形，點q共有4個．
滿分解答
（1）a(3，0)，b(0，1)，c(0，3)，d(－1，0)．
（2）因為拋物線y＝ax2＋bx＋c經過a(3，0)、c(0，3)、d(－1，0) 三點，所以解得
所以拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，頂點g的座標為(1，4)．
（3）如圖2，直線bg的解析式為y＝3x＋1，直線cd的解析式為y＝3x＋3，因此cd//bg．
因為圖形在旋轉過程中，對應線段的夾角等於旋轉角，所以ab⊥cd．因此ab⊥bg，即∠abq＝90°．
因為點q在直線bg上，設點q的座標為(x，3x＋1)，那麼．
rt△cod的兩條直角邊的比為1∶3，如果rt△abq與rt△cod相似，存在兩種情況：
①當時，．解得．所以，．
②當時，．解得．所以，．
圖2圖3
考點伸展
第（3）題在解答過程中運用了兩個高難度動作：一是用旋轉的性質說明ab⊥bg；二是．
我們換個思路解答第（3）題：
如圖3，作gh⊥y軸，qn⊥y軸，垂足分別為h、n．
通過證明△aob≌△bhg，根據全等三角形的對應角相等，可以證明∠abg＝90°．
在rt△bgh中，，．
①當時，．
在rt△bqn中，，．
當q在b上方時，；當q在b下方時，．
②當時，．同理得到，．
例2rt△abc在直角座標系內的位置如圖1所示，反比例函式在第一象限內的影象與bc邊交於點d（4，m），與ab邊交於點e（2，n），△bde的面積為2．
（1）求m與n的數量關係；
（2）當tan∠a＝時，求反比例函式的解析式和直線ab的表示式；
（3）設直線ab與y軸交於點f，點p在射線fd上，在（2）的條件下，如果△aeo與△efp 相似，求點p的座標．
圖1動感體驗
請開啟幾何畫板檔名「11楊浦24」，拖動點a在x軸上運動，可以體驗到，直線ab保持斜率不變，n始終等於m的2倍，雙擊按鈕「面積bde＝2」，可以看到，點e正好在bd的垂直平分線上，fd//x軸．拖動點p在射線fd上運動，可以體驗到，△aeo與△efp 相似存在兩種情況．
思路點撥
1．探求m與n的數量關係，用m表示點b、d、e的座標，是解題的突破口．
2．第（2）題留給第（3）題的隱含條件是fd//x軸．
3．如果△aeo與△efp 相似，因為夾角相等，根據對應邊成比例，分兩種情況．
滿分解答
（1）如圖1，因為點d（4，m）、e（2，n）在反比例函式的影象上，所以整理，得n＝2m．
（2）如圖2，過點e作eh⊥bc，垂足為h．在rt△beh中，tan∠beh＝tan∠a＝，eh＝2，所以bh＝1．因此d(4，m)，e(2，2m)，b(4，2m＋1)．
已知△bde的面積為2，所以．解得m＝1．因此d(4，1)，e(2，2)，b(4，3)．
因為點d（4，1）在反比例函式的影象上，所以k＝4．因此反比例函式的解析式為．
設直線ab的解析式為y＝kx＋b，代入b(4，3)、e(2，2)，得解得，．
因此直線ab的函式解析式為．
圖2圖3圖4
（3）如圖3，因為直線與y軸交於點f（0，1），點d的座標為（4，1），所以fd// x軸，∠efp＝∠eao．因此△aeo與△efp 相似存在兩種情況：
①如圖3，當時，．解得fp＝1．此時點p的座標為（1，1）．
②如圖4，當時，．解得fp＝5．此時點p的座標為（5，1）．
考點伸展
本題的題設部分有條件「rt△abc在直角座標系內的位置如圖1所示」，如果沒有這個條件限制，保持其他條件不變，那麼還有如圖5的情況：
第（1）題的結論m與n的數量關係不變．第（2）題反比例函式的解析式為，直線ab為．第（3）題fd不再與x軸平行，△aeo與△efp 也不可能相似．
圖52013中考數學壓軸題函式相似三角形問題(二)
例3如圖1，已知梯形oabc，拋物線分別過點o（0，0）、a（2，0）、b（6，3）．
（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點m的座標；
（2）將圖1中梯形oabc的上下底邊所在的直線oa、cb以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線於點o1、a1、c1、b1，得到如圖2的梯形o1a1b1c1．設梯形o1a1b1c1的面積為s，a1、 b1的座標分別為 (x1，y1)、(x2，y2)．用含s的代數式表示x2－x1，並求出當s=36時點a1的座標；
（3）在圖1中，設點d的座標為(1，3)，動點p從點b出發，以每秒1個單位長度的速度沿著線段bc運動，動點q從點d出發，以與點p相同的速度沿著線段dm運動．p、q兩點同時出發，當點q到達點m時，p、q兩點同時停止運動．設p、q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線pq、直線ab、x軸圍成的三角形與直線pq、直線ab、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
圖1圖2
動感體驗
請開啟幾何畫板檔名「10義烏24」，拖動點i上下運動，觀察圖形和影象，可以體驗到，x2－x1隨s的增大而減小．雙擊按鈕「第（3）題」，拖動點q在dm上運動，可以體驗到，如果∠gaf＝∠gqe，那麼△gaf與△gqe相似．
思路點撥
1．第（2）題用含s的代數式表示x2－x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示s．再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2－y1＝3．通過代數變形就可以了．
2．第（3）題最大的障礙在於畫示意圖，在沒有計算結果的情況下，無法畫出準確的位置關係，因此本題的策略是先假設，再說理計算，後驗證．
3．第（3）題的示意圖，不變的關係是：直線ab與x軸的夾角不變，直線ab與拋物線的對稱軸的夾角不變．變化的直線pq的斜率，因此假設直線pq與ab的交點g在x軸的下方，或者假設交點g在x軸的上方．
滿分解答
（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為m（1，）．
（2） 梯形o1a1b1c1的面積，由此得到．由於，所以．整理，得．因此得到．
當s=36時， 解得此時點a1的座標為（6，3）．
（3）設直線ab與pq交於點g，直線ab與拋物線的對稱軸交於點e，直線pq與x軸交於點f，那麼要探求相似的△gaf與△gqe，有乙個公共角∠g．
在△geq中，∠geq是直線ab與拋物線對稱軸的夾角，為定值．
在△gaf中，∠gaf是直線ab與x軸的夾角，也為定值，而且∠geq≠∠gaf．
因此只存在∠gqe＝∠gaf的可能，△gqe∽△gaf．這時∠gaf＝∠gqe＝∠pqd．
由於，，所以．解得．
圖3圖4
考點伸展
第（3）題是否存在點g在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的．事實上，圖3和圖4都是假設存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3．
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