1.在平面直角座標系xoy中，拋物線y= x2xm23m2
與x軸的交點分別為原點o和點a，點b(2，n)在這條拋物線上。
(1) 求點b的座標；
(2) 點p**段oa上，從o點出發向點運動，過p點作x軸的
垂線，與直線ob交於點e。延長pe到點d。使得ed=pe。
以pd為斜邊在pd右側作等腰直角三角形pcd(當p點運動
時，c點、d點也隨之運動)
當等腰直角三角形pcd的頂點c落在此拋物線上時，求
op的長；
若p點從o點出發向a點作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段oa上另一
點q從a點出發向o點作勻速運動，速度為每秒2個單位(當q點到達o點時停止
運動，p點也同時停止運動)。過q點作x軸的垂線，與直線ab交於點f。延長qf
到點m，使得fm=qf，以qm為斜邊，在qm的左側作等腰直角三角形qmn(當q
點運動時，m點，n點也隨之運動)。若p點運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分
別有一條直角邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值。
【解答】
解：(1) ∵拋物線y= x2xm23m2經過原點，∴m23m2=0，解得m1=1，m2=2，
由題意知m1，∴m=2，∴拋物線的解析式為y= x2x，∵點b(2，n)在拋物線
y= x2x上，∴n=4，∴b點的座標為(2，4)。
(2) 設直線ob的解析式為y=k1x，求得直線ob的解析式為
y=2x，∵a點是拋物線與x軸的乙個交點，可求得a點的
座標為(10，0)，設p點的座標為(a，0)，則e點的座標為
a，2a)，根據題意作等腰直角三角形pcd，如圖1。可求
得點c的座標為(3a，2a)，由c點在拋物線上，得
2a= (3a)23a，即a2a=0，解得a1=，a2=0
捨去)，∴op=。
依題意作等腰直角三角形qmn，設直線ab的解析式為y=k2xb，由點a(10，0)，
點b(2，4)，求得直線ab的解析式為y= x5，當p點運動到t秒時，兩個等腰
直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，有以下三種情況：
第一種情況：cd與nq在同一條直線上。如圖2所示。可證△dpq為等腰直角三
角形。此時op、dp、aq的長可依次表示為t、4t、2t個單位。∴pq=dp=4t，
t4t2t=10，∴t=。
第二種情況：pc與mn在同一條直線上。如圖3所示。可證△pqm為等腰直角三
角形。此時op、aq的長可依次表示為t、2t個單位。∴oq=102t，∵f點在
直線ab上，∴fq=t，∴mq=2t，∴pq=mq=cq=2t，∴t2t2t=10，∴t=2。
第三種情況：點p、q重合時，pd、qm在同一條直線上，如圖4所示。此時op、
aq的長可依次表示為t、2t個單位。∴t2t=10，∴t=。綜上，符合題意的
t值分別為，2，。
2.問題：已知△abc中，bac=2acb，點d是△abc內的一點，且ad=cd，bd=ba。
**dbc與abc度數的比值。
請你完成下列**過程：
先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析並加以證明。
(1) 當bac=90時，依問題中的條件補全右圖。
觀察圖形，ab與ac的數量關係為 ；
當推出dac=15時，可進一步推出dbc的度數為 ；
可得到dbc與abc度數的比值為 ；
(2) 當bac90時，請你畫出圖形，研究dbc與abc度數的比值
是否與(1)中的結論相同，寫出你的猜想並加以證明。
【解答】
解：(1) 相等；15；1：3。
(2) 猜想：dbc與abc度數的比值與(1)中結論相同。
證明：如圖2，作kca=bac，過b點作bk//ac交ck於點k，
鏈結dk。∵bac90，∴四邊形abkc是等腰梯形，
ck=ab，∵dc=da，∴dca=dac，∵kca=bac，
kcd=3，∴△kcd△bad，∴2=4，kd=bd，
kd=bd=ba=kc。∵bk//ac，∴acb=6，
kca=2acb，∴5=acb，∴5=6，∴kc=kb，
kd=bd=kb，∴kbd=60，∵acb=6=601，
bac=2acb=12021，
1(601)(12021)2=180，∴2=21，
dbc與ab c度數的比值為1：3。
3．（本小題滿分12分）
如圖，bd是⊙o的直徑，oa⊥ob，m是劣弧上一點，過點m點作⊙o的切線mp交oa的延長線於p點，md與oa交於n點．
（1）求證：pm＝pn；
（2）若bd＝4，pa＝ao，過點b作bc∥mp交⊙o於c點，求bc的長．
【解答】
解：4．（本小題滿分14分）如圖，在平面直角座標系中放置一矩形abco，其頂點為a（0，1）、b（－3，1）、c（－3，0）、o（0，0）．將此矩形沿著過e（－，1）、f（－，0）的直線ef向右下方翻摺，b、c的對應點分別為b′、c′．
（1）求摺痕所在直線ef的解析式；
（2）一拋物線經過b、e、b′三點，求此二次函式解析式；
（3）能否在直線ef上求一點p，使得△pbc周長最小？如能，求出點p的座標；若不能，說明理由．
【解答】
5.春節期間某水庫養殖場為適應市場需求，連續用20天時間，採用每天降低水位以減少捕撈成本的辦法，對水庫中某種鮮魚進行捕撈、銷售。
九（1）班數學建模興趣小組根據調查，整理出第天（且為整數）的捕撈與銷售的相關資訊如下：
⑴在此期間該養殖場每天的捕撈量與前一末的捕撈量相比是如何變化的？
⑵假定該養殖場每天捕撈和銷售的鮮魚沒有損失，且能在當天全部售出，求第天的收入（元）與（天）之間的函式關係式？（當天收入＝日銷售額—日捕撈成本）
試說明⑵中的函式隨的變化情況，並指出在第幾天取得最大值，最大值是多少？
【解答】
6.如圖，已知△abc∽△，相似比為（），且△abc的三邊長分別為、、（），△的三邊長分別為、、。
⑴若，求證：；
⑵若，試給出符合條件的一對△abc和△，使得、、和、、進都是正整數，並加以說明；
⑶若，，是否存在△abc和△使得？請說明理由。
【解答】
7.（12分）在△abc中,ab=bc=2,∠abc=120°,將△abc繞點b順時針旋轉角α(0<α<120°),得△a1bc1，交ac於點e，ac分別交a1c1、bc於d、f兩點．
（1）如圖①，觀察並猜想，在旋轉過程中，線段ea1與fc有怎樣的數量關係？並證明你的結論；
（2）如圖②，當=30°時，試判斷四邊形bc1da的形狀，並說明理由；
（3）在（2）的情況下，求ed的長．
【解答】
；提示證明……………3分
（2）①菱形（證明略7分
（3）過點e作eg⊥ab，則ag=bg=1
在中，由（2）知ad=ab=212分
8.（12分）如圖1，已知拋物線經過座標原點o和x軸上另一點e，頂點m的座標為 (2,4)；矩形abcd的頂點a與點o重合，ad、ab分別在x軸、y軸上，且ad=2，ab=3.
（1）求該拋物線的函式關係式；
（2）將矩形abcd以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點p也以相同的速度從點a出發向b勻速移動，設它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線ab與該拋物線的交點為n（如圖2所示）.
① 當t=時，判斷點p是否在直線me上，並說明理由；
② 設以p、n、c、d為頂點的多邊形面積為s，試問s是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．
【解答】
解：（1）……………3分
（2）①點p不在直線me上…………………7分
②依題意可知：p（,），n（，）
當時，以p、n、c、d為頂點的多邊形是四邊形pncd，依題意可得：
=+=+=
=∵拋物線的開口方向：向下，∴當=，且時，=
當時,點p、n都重合，此時以p、n、c、d為頂點的多邊形是三角形
依題意可得，==3
綜上所述，以p、n、c、d為頂點的多邊形面積s存在最大值．………12分
9.（滿分13分）
如圖，在△abc中，∠c=45°，bc=10，高ad=8，矩形efpq的一邊qp在邊上，e、f兩點分別在ab、ac上，ad交ef於點h。
（1）求證：;
（2）設ef=，當為何值時，矩形efpq的面積最大？並求其最大值；
（3）當矩形efpq的面頰最大時，該矩形efpq以每秒1個單位的速度沿射線qc勻速運動（當點q與點c重合時停止運動），設運動時間為t秒，矩形efpq與△abc重疊部分的面積為s，求s與t的函式關係式。
【解答】
10.（滿分14分）
如圖1，在平面直角座標系中，點b在直線上，過點b作軸的垂線，垂足為a，oa=5。若拋物線過點o、a兩點。
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若a點關於直線的對稱點為c，判斷點c是否在該拋物線上，並說明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，⊙o1是以bc為直徑的圓。過原點o作o1的切線op，p為切點（p與點c不重合），拋物線上是否存在點q，使得以pq為直徑的圓與o1相切？若存在，求出點q的橫座標；若不存在，請說明理由。
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