例 1如圖1，等邊△abc的邊長為4，e是邊bc上的動點，eh⊥ac於h，過e作ef∥ac，交線段ab於點f，**段ac上取點p，使pe＝eb．設ec＝x（0＜x≤2）．
（1）請直接寫出圖中與線段ef相等的兩條線段（不再另外新增輔助線）；
（2）q是線段ac上的動點，當四邊形efpq是平行四邊形時，求平行四邊形efpq的面積（用含的代數式表示）；
（3）當（2）中的平行四邊形efpq面積最大值時，以e為圓心，r為半徑作圓，根據⊙e與此時平行四邊形efpq四條邊交點的總個數，求相應的r的取值範圍．
圖1動感體驗
請開啟幾何畫板檔名「09福州21」，拖動點e在bc上運動，觀察面積隨x變化的圖象，可以體驗到，當e是bc的中點時，平行四邊形efpq的面積最大，此時四邊形efpq是菱形．
拖動點m在bc的垂直平分線上運動可以改變⊙e的大小，可以體驗到，⊙e與平行四邊形efpq四條邊交點的總個數可能為2，4，6，3，0．
思路點撥
1．如何用含有x的式子表示平行四邊形的邊pq，第（1）題作了暗示．
2．通過計算，求出平行四邊形面積最大時的x值，準確、規範地畫出此時的圖形是解第（3）題的關鍵，此時點e是bc的中點，圖形充滿了特殊性．
3．畫出兩個同心圓可以幫助**、理解第（3）題：過點h的圓，過點c的圓．
滿分解答
（1）be、pe、bf三條線段中任選兩條．
（2）如圖2，在rt△ceh中，∠c＝60°，ec＝x，所以．因為pq＝fe＝be＝4－x，所以．
（3）因為，所以當x＝2時，平行四邊形efpq的面積最大．
此時e、f、p分別為△abc的三邊bc、ab、ac的中點，且c、q重合，四邊形efpq是邊長為2的菱形（如圖3）．
圖2圖3
過點e點作ed⊥fp於d，則ed＝eh＝．
如圖4，當⊙e與平行四邊形efpq的四條邊交點的總個數是2個時，0＜r＜；
如圖5，當⊙e與平行四邊形efpq的四條邊交點的總個數是4個時，r＝；
如圖6，當⊙e與平行四邊形efpq的四條邊交點的總個數是6個時，＜r＜2；
如圖7，當⊙e與平行四邊形efpq的四條邊交點的總個數是3個時，r＝2時；
如圖8，當⊙e與平行四邊形efpq的四條邊交點的總個數是0個時，r＞2時．
圖4圖5圖6
圖7圖8
考點伸展
本題中e是邊bc上的動點，設ec＝x，如果沒有限定0＜x≤2，那麼平行四邊形efpq的面積是如何隨x的變化而變化的？
事實上，當x＞2時，點p就不存在了，平行四邊形efpq也就不存在了．
因此平行四邊形efpq的面積隨x的增大而增大．
例2如圖1，拋物線與x軸相交於a、b兩點（點a在點b的左側），與y軸相交於點c，頂點為d．
（1）直接寫出a、b、c三點的座標和拋物線的對稱軸；
（2）鏈結bc，與拋物線的對稱軸交於點e，點p為線段bc上的乙個動點，過點p作pf//de交拋物線於點f，設點p的橫座標為m．
①用含m的代數式表示線段pf的長，並求出當m為何值時，四邊形pedf為平行四邊形？
②設△bcf的面積為s，求s與m的函式關係．
圖1動感體驗
請開啟幾何畫板檔名「09江西24」，拖動點p在bc上運動，可以體驗到，四邊形pedf可以成為平行四邊形．觀察△bcf的形狀和s隨m變化的圖象，可以體驗到，s是m的二次函式，當p是bc的中點時，s取得最大值．
思路點撥
1．數形結合，用函式的解析式表示圖象上點的座標，用點的座標表示線段的長．
2．當四邊形pedf為平行四邊形時，根據de=fp列關於m的方程．
3．把△bcf分割為兩個共底fp的三角形，高的和等於ob．
滿分解答
（1）a（－1，0），b（3，0），c（0，3）．拋物線的對稱軸是x＝1．
（2）①直線bc的解析式為y＝－x＋3．
把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以點e的座標為（1，2）．
把x＝1代入，得y＝4．所以點d的座標為（1，4）．
因此de=2．
因為pf//de，點p的橫座標為m，設點p的座標為，點f的座標為，因此．
當四邊形pedf是平行四邊形時，de=fp．於是得到．解得，（與點e重合，捨去）．
因此，當m=2時，四邊形pedf是平行四邊形時．
②設直線pf與x軸交於點m，那麼om+bm=ob=3．因此
．m的變化範圍是0≤m≤3．
圖2圖3
考點伸展
在本題條件下，四邊形pedf可能是等腰梯形嗎？如果可能，求m的值；如果不可能，請說明理由．
如圖4，如果四邊形pedf是等腰梯形，那麼dg=eh，因此．
於是．解得（與點ce重合，捨去），（與點e重合，捨去）．
因此四邊形pedf不可能成為等腰梯形．
圖4例 3
如圖，在平面直角座標系xoy中，直線與交於點a，分別交x軸於點b和點c，點d是直線ac上的乙個動點．
（1）求點a、b、c的座標．
（2）當△cbd為等腰三角形時，求點的座標．
（3）在直線ab上是否存在點e，使得以點e、d、o、a為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出的值；如果不存在，請說明理由．
圖1動感體驗
請開啟幾何畫板檔名「08太原29」，拖動點d可以在直線ac上運動．
分別雙擊按鈕「bc＝bd」，「cb＝cd」和「db＝dc」，可以準確顯示△cbd為等腰三角形．
雙擊按鈕「平行四邊形」，可以體驗到，以點e、d、o、a為頂點的平行四邊形有三個．
思路點撥
1．數形結合，由兩條直線的解析式組成的方程組的解，就是點a的座標．
2．分類討論等腰三角形cbd，按照頂角的頂點分三種情況討論．
3．在計算點d的座標時，構造以c為頂點的直角三角形，靈活運用三邊比3∶4∶5．
4．畫平行四邊形時，是點e決定點d的位置：過點o作ac的平行線交ab於e，由oe與ad平行且相等得到點d的兩個位置，這樣就容易得到三個平行四邊形．
滿分解答
（1）在中，當時，，所以點的座標為．在中，當時，，所以點的座標為（4，0）．解方程組得，．所以點的座標為．
（2）因為點d在直線上，設點d的座標為．當△cbd為等腰三角形時，有以下三種情況：
①如圖2，當db＝dc時，設底邊bc上的高為dm．在rt△cdm中，，所以．這時點d的座標為．
②如圖3，當cd＝cb＝5時，點d恰好落在y軸上，此時點d的座標為（0，3）．根據對稱性，點d關於點c對稱的點d′的座標為（8，－3）．
③如圖4，當bc＝bd時，設bc、dc邊上的高分別為dm、bn．在rt△bcn中，bc＝5，所以cn＝4，因此dc＝8．在rt△dcm中，dc＝8，所以，．這時點d的座標為．
綜上所述，當△cbd為等腰三角形時，點d的座標為、（0，3）、（8，－3）或．
圖2圖3圖4
（3）如圖5，以點e、d、o、a為頂點的四邊形是平行四邊形有以下三種情形：
①當四邊形aeod為平行四邊形時，．
②當四邊形adeo為平行四邊形時，．
③當四邊形aode為平行四邊形時，．
考點伸展
如圖5，第（3）題這樣解：
在△abc中，已知bc＝5，bc邊上的高為，解得ab＝，ac＝．
由，得，所以．
由，得，所以．
結合圖5，可以計算出，或．
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