2023年中考真題
二次函式壓軸題1
1．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸於點a，b，交y軸於點c．點b的座標為（3，0）點c的座標為（0，3），點c與點d關於拋物線的對稱軸對稱．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點p為拋物線對稱軸上一點，連線bd，以pd，pb為邊作平行四邊形pdnb，是否存在這樣的點p，使得pdnb是矩形？若存在，請求出tan∠bdn的值；若不存在，請說明理由；
（3）點q在y軸右側拋物線上運動，當△acq的面積與△abq的面積相等時，請直接寫出點q的座標．
2．如圖，拋物線y＝ax2+2x+c（a＜0）與x軸交於點a和點b（點a在原點的左側，點b在原點的右側），與y軸交於點c，ob＝oc＝3．
（1）求該拋物線的函式解析式．
（2）如圖1，連線bc，點d是直線bc上方拋物線上的點，連線od，cd．od交bc於點f，當s△cof：s△cdf＝3：2時，求點d的座標．
（3）如圖2，點e的座標為（0，），點p是拋物線上第一象限上的點，連線eb，pb，pe形成的△pbe中，是否存在點p，使∠pbe或∠peb等於2∠obe？若存在，請直接寫出符合條件的點p的座標；若不存在，請說明理由．
3．已知直線y＝x+2分別交x軸、y軸於a、b兩點，拋物線y＝x2+mx﹣2經過點a，和x軸的另乙個交點為c．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點d是拋物線上的動點，且在第三象限，求△abd面積的最大值；
（3）如圖2，經過點m（﹣4，1）的直線交拋物線於點p、q，連線cp、cq分別交y軸於點e、f，求oeof的值．
備註：拋物線頂點座標公式（﹣，）
4．如圖：在平面直角座標系中，直線l：y＝x﹣與x軸交於點a，經過點a的拋物線y＝ax2﹣3x+c的對稱軸是x＝．
（1）求拋物線的解析式；
（2）平移直線l經過原點o，得到直線m，點p是直線m上任意一點，pb⊥x軸於點b，pc⊥y軸於點c，若點e**段ob上，點f**段oc的延長線上，連線pe，pf，且pf＝3pe．求證：pe⊥pf；
（3）若（2）中的點p座標為（6，2），點e是x軸上的點，點f是y軸上的點，當pe⊥pf時，拋物線上是否存在點q，使四邊形peqf是矩形？如果存在，請求出點q的座標，如果不存在，請說明理由．
5．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c和直線y＝x+1交於a，b兩點，點a在x軸上，點b在直線x＝3上，直線x＝3與x軸交於點c．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點p從點a出發，以每秒個單位長度的速度沿線段ab向點b運動，點q從點c出發，以每秒2個單位長度的速度沿線段ca向點a運動，點p，q同時出發，當其中一點到達終點時，另乙個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t＞0）．以pq為邊作矩形pqnm，使點n在直線x＝3上．
①當t為何值時，矩形pqnm的面積最小？並求出最小面積；
②直接寫出當t為何值時，恰好有矩形pqnm的頂點落在拋物線上．
6．拋物線y＝﹣x2﹣x+與x軸交於點a，b（點a在點b的左邊），與y軸交於點c，點d是該拋物線的頂點．
（1）如圖1，連線cd，求線段cd的長；
（2）如圖2，點p是直線ac上方拋物線上一點，pf⊥x軸於點f，pf與線段ac交於點e；將線段ob沿x軸左右平移，線段ob的對應線段是o1b1，當pe+ec的值最大時，求四邊形po1b1c周長的最小值，並求出對應的點o1的座標；
（3）如圖3，點h是線段ab的中點，連線ch，將△obc沿直線ch翻摺至△o2b2c的位置，再將△o2b2c繞點b2旋轉一周，在旋轉過程中，點o2，c的對應點分別是點o3，c1，直線o3c1分別與直線ac，x軸交於點m，n．那麼，在△o2b2c的整個旋轉過程中，是否存在恰當的位置，使△amn是以mn為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的線段o2m的長；若不存在，請說明理由．
7．已知拋物線y＝x2+bx+c經過點a（﹣2，0），b（0、﹣4）與x軸交於另一點c，連線bc．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，p是第一象限內拋物線上一點，且s△pbo＝s△pbc，求證：ap∥bc；
（3）在拋物線上是否存在點d，直線bd交x軸於點e，使△abe與以a，b，c，e中的三點為頂點的三角形相似（不重合）？若存在，請求出點d的座標；若不存在，請說明理由．
8．如圖，在平面直角座標系中，拋物線c1：y＝ax2+bx﹣1經過點a（﹣2，1）和點b（﹣1，﹣1），拋物線c2：y＝2x2+x+1，動直線x＝t與拋物線c1交於點n，與拋物線c2交於點m．
（1）求拋物線c1的表示式；
（2）直接用含t的代數式表示線段mn的長；
（3）當△amn是以mn為直角邊的等腰直角三角形時，求t的值；
（4）在（3）的條件下，設拋物線c1與y軸交於點p，點m在y軸右側的拋物線c2上，連線am交y軸於點k，連線kn，在平面內有一點q，連線kq和qn，當kq＝1且∠knq＝∠bnp時，請直接寫出點q的座標．
9．如圖，在平面直角座標系中，已知拋物線y＝x2+x﹣2與x軸交於a，b兩點（點a在點b的左側），與y軸交於點c，直線l經過a，c兩點，連線bc．
（1）求直線l的解析式；
（2）若直線x＝m（m＜0）與該拋物線在第三象限內交於點e，與直線l交於點d，連線od．當od⊥ac時，求線段de的長；
（3）取點g（0，﹣1），連線ag，在第一象限內的拋物線上，是否存在點p，使∠bap＝∠bco﹣∠bag？若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由．
10．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸於點a（﹣1，0）和點b（3，0）．
（1）求該拋物線所對應的函式解析式；
（2）如圖2，該拋物線與y軸交於點c，頂點為f，點d（2，3）在該拋物線上．
①求四邊形acfd的面積；
②點p是線段ab上的動點（點p不與點a、b重合），過點p作pq⊥x軸交該拋物線於點q，連線aq、dq，當△aqd是直角三角形時，求出所有滿足條件的點q的座標．
11．如圖1，拋物線的頂點a的座標為（1，4），拋物線與x軸相交於b、c兩點，與y軸交於點e（0，3）．
（1）求拋物線的表示式；
（2）已知點f（0，﹣3），在拋物線的對稱軸上是否存在一點g，使得eg+fg最小，如果存在，求出點g的座標；如果不存在，請說明理由．
（3）如圖2，連線ab，若點p是線段oe上的一動點，過點p作線段ab的垂線，分別與線段ab、拋物線相交於點m、n（點m、n都在拋物線對稱軸的右側），當mn最大時，求△pon的面積．
12．如圖，已知二次函式y＝ax2﹣5x+c（a＞0）的圖象拋物線與x軸相交於不同的兩點a（x1，0），b（x2，0），且x1＜x2，
（1）若拋物線的對稱軸為x＝求的a值；
（2）若a＝15，求c的取值範圍；
（3）若該拋物線與y軸相交於點d，連線bd，且∠obd＝60°，拋物線的對稱軸l與x軸相交點e，點f是直線l上的一點，點f的縱座標為3+，連線af，滿足∠adb＝∠afe，求該二次函式的解析式．
13．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線與x軸交於a、b兩點，與y軸交於c點，其中a（1，0），c（0，3）．
（1）若直線y＝mx+n經過b、c兩點，求直線bc和拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸x＝﹣1上找一點m，使點m到點a的距離與到點c的距離之和最小，求出點m的座標；
（3）設點p為拋物線的對稱軸x＝﹣1上的乙個動點，求使△bpc為直角三角形的點p的座標．
14．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交於a、b兩點，b點座標為（4，0），與y軸交於點c（0，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點p在x軸下方的拋物線上，過點p的直線y＝x+m與直線bc交於點e，與y軸交於點f，求pe+ef的最大值；
（3）點d為拋物線對稱軸上一點．
①當△bcd是以bc為直角邊的直角三角形時，直接寫出點d的座標；
②若△bcd是銳角三角形，直接寫出點d的縱座標n的取值範圍．
15．如圖①，已知拋物線y＝ax2+bx+c的圖象經過點a（0，3）、b（1，0），其對稱軸為直線l：x＝2，過點a作ac∥x軸交拋物線於點c，∠aob的平分線交線段ac於點e，點p是拋物線上的乙個動點，設其橫座標為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若動點p在直線oe下方的拋物線上，鏈結pe、po，當m為何值時，四邊形aope面積最大，並求出其最大值；
（3）如圖②，f是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點p使△pof成為以點p為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點p的座標；若不存在，請說明理由．
16．如圖1，四邊形oabc是矩形，點a的座標為（3，0），點c的座標為（0，6），點p從點o出發，沿oa以每秒1個單位長度的速度向點a出發，同時點q從點a出發，沿ab以每秒2個單位長度的速度向點b運動，當點p與點a重合時運動停止．設運動時間為t秒．
（1）當t＝2時，線段pq的中點座標為 ；
（2）當△cbq與△paq相似時，求t的值；
（3）當t＝1時，拋物線y＝x2+bx+c經過p，q兩點，與y軸交於點m，拋物線的頂點為k，如圖2所示，問該拋物線上是否存在點d，使∠mqd＝∠mkq？若存在，求出所有滿足條件的d的座標；若不存在，說明理由．
17．如圖，在平面直角座標系中，∠acb＝90°，oc＝2ob，tan∠abc＝2，點b的座標為（1，0）．拋物線y＝﹣x2+bx+c經過a、b兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點p是直線ab上方拋物線上的一點，過點p作pd垂直x軸於點d，交線段ab於點e，使pe＝de．
①求點p的座標；
②在直線pd上是否存在點m，使△abm為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點m的座標；若不存在，請說明理由．
18．如圖，在平面直角座標系中，二次函式y＝ax2+bx+c交x軸於點a（﹣4，0）、b（2，0），交y軸於點c（0，6），在y軸上有一點e（0，﹣2），連線ae．
（1）求二次函式的表示式；
（2）若點d為拋物線在x軸負半軸上方的乙個動點，求△ade面積的最大值；
（3）拋物線對稱軸上是否存在點p，使△aep為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有p點的座標，若不存在請說明理由．
2023年中考數學衝刺複習 二次函式壓軸題 含答案
面積類1 如圖，已知拋物線經過點a 1，0 b 3，0 c 0，3 三點 1 求拋物線的解析式 2 點m是線段bc上的點 不與b，c重合 過m作mn y軸交拋物線於n，若點m的橫座標為m，請用m的代數式表示mn的長 3 在 2 的條件下，連線nb nc，是否存在m，使 bnc的面積最大？若存在，求m...
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