二次函式綜合題詳解詳析(1)
以二次函式為背景的綜合題目，突出對數學核心概念、思想方法的考查．函式，是中學數學的核心概念，是從數量角度反映變化規律的數學模型，其變化規律突出表現在變數之間的對應關係上，並可以從數或形兩個角度加以描述，其中圖象法的應用，是將數量關係直觀化、形象化，為數形結合地研究問題提供了重要的方法．
1．(2010巴中，31，12分)如圖12已知△abc中，∠acb＝90°以ab所在直線為x軸，過c點的直線為y軸建立平面直角座標系．此時，a點座標為(－1，0)，b點座標為(4，0)
(1)試求點c的座標
(2)若拋物線過△abc的三個頂點，求拋物線的解析式．
(3)點d(1，m)在拋物線上，過點a的直線y＝－x－1交(2)中的拋物線於點e，那麼在x軸上點b的左側是否存在點p，使以p、b、d為頂點的三角形與△abe相似？若存在，求出p點座標；若不存在，說明理由．
2．(2010山東濟南，24，9分)如圖，已知拋物線經過點(1，－5)和(－2，4)
(1)求這條拋物線的解析式．
(2)設此拋物線與直線y＝x相交於點a，b(點b在點a的右側)，平行於軸的直線與拋物線交於點m，與直線交於點n，交軸於點p，求線段mn的長(用含的代數式表示)．
(3)在條件(2)的情況下，連線om、bm，是否存在的值，使△bom的面積s最大？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．
3．(2010江西，24，9分)如圖，已知經過原點的拋物線y＝－2x2＋4x與x軸的另一交點為a，現將它向右平移m(m>0)個單位，所得拋物線與x軸交與c、d兩點，與原拋物線交與點p．
(1)求點a的座標，並判斷△pca存在時它的形狀(不要求說理)
(2)在x軸上是否存在兩條相等的線段，若存在，請一一找出，並寫出它們的長度(可用含m的式子表示)；若不存在，請說明理由；
(3)△cdp的面積為s，求s關於m的關係式．
4．(2010山東青島，22，10分)(本小題滿分10分)某市**大力扶持大學生創業．李明在**的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼檯燈．銷售過程中發現，每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關係可近似的看作一次函式：．
(1)設李明每月獲得利潤為w(元)，當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？
(2)如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那麼銷售單價應定為多少元？
(3)根據物價部門規定，這種護眼檯燈的銷售單價不得高於32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低於2000元，那麼他每月的成本最少需要多少元？
(成本＝進價×銷售量)
4．(2010江蘇宿遷，28，12分)已知拋物線交x軸於a(1，0)、b(3，0)兩點，交y軸於點c，其頂點為d．
(1)求b、c的值並寫出拋物線的對稱軸；
(2)連線bc，過點o作直線oe⊥bc交拋物線的對稱軸於點e．求證：四邊形odbe是等腰梯形；
(3)拋物線上是否存在點q，使得△obq的面積等於四邊形odbe的面積的？若存在，求點q的座標；若不存在，請說明理由．
5．(2010山東煙台，26，14分)如圖，已知拋物線y＝x2＋bx－3a過點a(1，0)，b(0，－3)，與x軸交於另一點c．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若在第三象限的拋物線上存在點p，使△pbc為以點b為直角頂點的直角三角形，求點p的座標；
(3)在(2)的條件下，在拋物線上是否存在一點q，使以p，q，c為頂點的四邊形為直角梯形？若存在，請求出點q的座標；若不存在，請說明理由．
6．(2010山東濱州，25，10分)如圖，四邊形abcd是菱形，點d的座標是，以點c為頂點的拋物線恰好經過軸上a、b兩點．
(1)求a、b、c三點的座標；
(2)求經過a、b、c三點的的拋物線的解析式；
(3)若將上述拋物線沿其對稱軸向上平移後恰好過d點，求平移後拋物線的解析式，並指出平移了多少各單位？
7．(2010雲南楚雄，22，8分)已知：如圖，拋物線與軸相交於兩點a(1，0)，b(3，0)．與軸相較於點c(0，3)．
(1)求拋物線的函式關係式；
(2)若點d()是拋物線上一點，請求出的值，並求處此時△abd的面積．
8．(2010湖北荊門，24，12分)已知一次函式y＝的圖象與x軸交於點a．與軸交於點；二次函式圖象與一次函式y＝的圖象交於、兩點，與軸交於、兩點且點的座標為
(1)求二次函式的解析式；
(2)求四邊形bdef的面積s；
(3)在軸上是否存在點p，使得△是以為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點，若不存在，請說明理由．
9．(2023年，四川眉山，26，12分)如圖，rt△abo的兩直角邊oa、ob分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，o為座標原點，a、b兩點的座標分別為(，0)、(0，4)，拋物線經過b點，且頂點在直線上．
(1)求拋物線對應的函式關係式；
(2)若△dce是由△abo沿x軸向右平移得到的，當四邊形abcd是菱形時，試判斷點c和點d是否在該拋物線上，並說明理由；
(3)若m點是cd所在直線下方該拋物線上的乙個動點，過點m作mn平行於y軸交cd於點n．設點m的橫座標為t，mn的長度為l．求l與t之間的函式關係式，並求l取最大值時，點m的座標．
10．(2010蘇州，29，9分)(本題滿分9分)如圖，以a為頂點的拋物線與y軸交於點b．已知a、b兩點的座標分別為(3，0)、(0，4)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)設m(m，n)是拋物線上的一點(m、n為正整數)，且它位於對稱軸的右側．若以m、b、o、a為頂點的四邊形四條邊的長度是四個連續的正整數，求點m的座標；
(3)在(2)的條件下，試問：對於拋物線對稱軸上的任意一點p，pa2＋pb2＋pm2＞28是否總成立?請說明理由．
11．(2010武漢25題分)如圖1，拋物線經過點a(－1，0)，c(0，)兩點，且與x軸的另一交點為點b．
(1)求拋物線解析式；
(2)若拋物線的頂點為點m，點p為線段ab上一動點(不與b重合)，q**段mb上移動，且∠mpq＝45°，設op＝x，mq＝，求于x的函式關係式，並且直接寫出自變數的取值範圍；
(3)如圖2，在同一平面直角座標系中，若兩條直線x＝m，x＝n分別與拋物線交於e、g兩點，與(2)中的函式影象交於f、h兩點，問四邊形efhg能否為平行四邊形？若能，求出m、n之間的數量關係；若不能，請說明理由．
12．(2023年湖南益陽，20，12分)如圖9，在平面直角座標系中，已知a、b、c三點的座標分別為a(－2，0)，b(6，0)，c(0，3)．
(1)求經過a、b、c三點的拋物線的解析式；
(2)過c點作cd平行於x軸交拋物線於點d，寫出d點的座標，並求ad、bc的交點e的座標；
(3)若拋物線的頂點為p，鏈結pc、pd，判斷四邊形cedp的形狀，並說明理由．
圖9▲13．(2010四川內江，加7，12分)如圖，拋物線y＝mx2―2mx―3m(m＞0)與x軸交於a、b兩點，與y軸交於c點．
(1)請求拋物線頂點m的座標(用含m的代數式表示)，a，b兩點的座標；
(2)經**可知，△bcm與△abc的面積比不變，試求出這個比值；
(3)是否存在使△bcm為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；如果不存在，請說明理由．．
14．(2010北京，24，8分)在平面直角座標系xoy中，拋物線與x軸的交點分別為原點o和點a，點b(2，n)在這條拋物線上．
(1)求b點的座標；
(2)點p**段oa上，從o點出發向a點運動，過p點作x軸的垂線，與直線ob交與點e，延長pe到點d，使得ed＝pe，以pd為斜邊，在pd右側做等腰直角三角形pcd(當p點運動時，c點、d點也隨之運動)．
① 當等腰直角三角形pcd的頂點c落在此拋物線上時，求op的長；
② 若p點從o點出發向a點作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段oa上另乙個點q從a點出發向o點作勻速運動，速度為每秒2個單位(當q點到達o點時停止運動，p點也同時停止運動)．過q點做x軸的垂線，與直線ab交與點f，延長qf到點m，使得fm＝qf，以qm為斜邊，在qm的左側作等腰直角三角形qmn(當q點運動時，m點、n點也隨之運動)．若p點運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值．
15．(2010湖南懷化，26，10分)圖9是二次函式的圖象，其頂點座標為m(1，－4)．
(1)求出圖象與軸的交點a，b的座標；
(2)在二次函式的圖象上是否存在點p，使，若存在，求出p點的座標；若不存在，請說明理由；
(3)將二次函式的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其餘部分保持不變，得到乙個新的圖象，請你結合這個新的圖象回答：當直線與此圖象有兩個公共點時，的取值範圍．
16．(2023年浙江省紹興，24，14)如圖，設拋物線c1：，c2：，c1與c2的交點為a，b，點a的座標是，點b的橫座標是－2．
(1)求的值及點b的座標；
(2)點d**段ab上，過d作x軸的垂線，垂足為點h，在dh的右側作正三角形dhg．記過c2頂點ｍ的直線為，且與x軸交於點n．
①若過△dhg的頂點g，點d的座標為(1，2)，求點n的橫座標；
②若與△dhg的邊dg相交，求點n的橫座標的取值範圍．
17．(2010湖北襄樊，26，12)(本大題滿分12分)如圖7，四邊形abcd是平行四邊形，ab＝4，ob＝2，拋物線過a、b、c三點，與x軸交於另一點d．一動點p以每秒1個單位長度的速度從b點出發沿ba向點a運動，運動到點a停止，同時一動點q從點d出發，以每秒3個單位長度的速度沿dc向點c運動，與點p同時停止．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若拋物線的對稱軸與ab交於點e，與x軸交於點f，當點p運動時間t為何值時，四邊形poqe是等腰梯形？
(3)當t為何值時，以p、b、o為頂點的三角形與以點q、b、o為頂點的三角形相似？
圖718．(2010黃岡市，25，15分)已知拋物線頂點為c(1，1)且過原點o．過拋物線上一點p(x，y)向直線作垂線，垂足為m，連fm(如圖)．
(1)求字母a，b，c的值；
(2)在直線x＝1上有一點，求以pm為底邊的等腰三角形pfm的p點的座標，並證明此時△pfm為正三角形；
(3)對拋物線上任意一點p，是否總存在一點n(1，t)，使pm＝pn恆成立，若存在請求出t值，若不存在請說明理由．
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