2023年全國各地中考數學壓軸題專集答案
四、二次函式
1．（北京）已知二次函式y＝( t＋1)x 2＋2( t＋2)x＋在x＝0和x＝2時的函式值相等．
（1）求二次函式的解析式；
（2）若一次函式y＝kx＋6的圖象與二次函式的圖象都經過點a（－3，m），求m和k的值；
（3）設二次函式的圖象與x軸交於點b，c（點b在點c的左側），將二次函式的圖象在點b，c間的部分（含點b和點c）向左平移n（n＞0）個單位後得到的圖象記為g，同時將（2）中得到的直線y＝kx＋6向上平移n個單位．請結合圖象回答：平移後的直線與圖象g有公共點時，n的取值範圍．
解：（1）由題意得( t＋1)·2 2＋2( t＋2)·2＋＝
解得t＝－
∴二次函式的解析式為y＝－x 2＋x＋
（2）∵a（－3，m）在二次函式y＝－x 2＋x＋的圖象上
∴m＝－×(－3)2＋(－3)＋＝－6
∴點a的座標為（－3，－6）
∵點a在一次函式y＝kx＋6的圖象上
∴－6＝－3k＋6，∴k＝4
（3）由題意，可得點b，c的座標分別為（－1，0），（3，0）
平移後，點b，c的對應點分別為b′（－1－n，0），c′（3－n，0）
將直線y＝4x＋6平移後得到直線y＝4x＋6＋n
如圖1，當直線y＝4x＋6＋n經過點b′（－1－n，0）時，
圖象g（點b′ 除外）在該直線右側
由0＝4(－1－n)＋6＋n，得n＝
如圖2，當直線y＝4x＋6＋n經過點c′（3－n，0）時，
圖象g（點c′ 除外）在該直線左側
由0＝4(3－n)＋6＋n，得n＝6
∴由圖象可知，符合題意的n的取值範圍是≤n ≤6
2．（北京模擬）已知拋物線y＝－x 2＋( m－2)x＋3( m＋1)．
（1）求證：無論m為任何實數，拋物線與x軸總有交點；
（2）設拋物線與y軸交於點c，當拋物線與x軸有兩個交點a、b（點a在點b的左側）時，如果∠cab或∠cba這兩角中有乙個角是鈍角，求m的取值範圍；
（3）在（2）的條件下，p是拋物線的頂點，當△pao的面積與△abc的面積相等時，求該拋物線的解析式．
（1）證明：∵△＝( m－2)2－4×(－1)×3( m＋1)＝( m＋4)2≥0
∴無論m為任何實數，拋物線與x軸總有交點
（2）解：由題意，m＋1＜0
當m＝－4，圖象與x軸只有乙個交點
∴m＜－1且m≠-4
（3）解：令y＝－x 2＋( m－2)x＋3( m＋1)
解得x1＝m＋1，x2＝－3
可求得頂點p（，）
①當a（m＋1，0）、b（－3，0）時
∵s△pao ＝s△abc ，∴ ( m＋1)×＝(－m－4)×3( m＋1)
解得m＝－16
∴y＝－x 2－18x－45
②當a（－3，0）、b（m＋1，0）時
同理得×3×＝( m＋4)×[－3( m＋1)]
解得m＝－
∴y＝－x 2－x－
3．（上海模擬）如圖，在平面直角座標系xoy中，二次函式y＝－x 2＋bx＋c的圖象經過點a（－1，1）和點b（2，2），該函式圖象的對稱軸與直線oa、ob分別交於點c和點d．
（1）求這個二次函式的解析式和它的對稱軸；
（2）求證：∠abo＝∠cbo；
（3）如果點p在直線ab上，且△pob與△bcd相似，求點p的座標．
（1）解：由題意，得解得
∴二次函式的解析式為y＝－x 2＋x＋2
對稱軸為直線x＝1
（2）證明：易得直線oa的解析式為y＝－x，從而c的座標為（1，－1）
∵由a（－1，1），b（2，2），c（1，－1）
得ab＝bc＝，oa＝oc＝
∴∠abo=∠cbo
（3）解：由直線ob的表示式y＝x，得點d的座標為（1，1）
由a（－1，1），b（2，2），得直線ab的解析式為y＝x＋
從而直線ab與x軸的交點e的座標為（－4，0）
∵△pob∽△bcd相似，∠abo＝∠cbo
∴∠bop＝∠bdc或∠bop＝∠bcd
①當∠bop＝∠bdc時
由∠bdc＝135°，得∠bop＝135°
此時點p與點e重合
∴點p的座標為（－4，0）
②當∠bop＝∠bcd時
由△pob∽△bcd，得＝
而bo＝2，bd＝，bc＝，∴bp＝
又∵be＝2，∴pe＝
作ph⊥x軸，垂足為點h，bf⊥x軸，垂足為點f
則ph∥bf，∴ ＝＝．
而bf＝2，ef＝6，∴ph＝，eh＝，∴oh＝
∴點p的座標為（，）
綜上所述，點p的座標為（－4，0）或（，）
4．（安徽）如圖，排球運動員站在點o處練習發球，將球從o點正上方2m的a處發出，把球看成點，其執行的高度y（m）與執行的水平距離x（m）滿足關係式y＝a( x－6)2＋h．已知球網與o點的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距o點的水平距離為18m．
（1）當h＝2.6時，求y與x的關係式（不要求寫出自變數x的取值範圍）；
（2）當h＝2.6時，球能否越過球網？球會不會出界？請說明理由；
（3）若球一定能越過球網，又不出邊界，求h的取值範圍．
解：（1）當h＝2.6時，y＝a( x－6)2＋2.6
由其圖象過點（0，2），得36a＋2.6＝2，解得a＝－
∴y＝－( x－6)2＋2.6
（2）當h＝2.6時，由（1）知y＝－( x－6)2＋2.6
由於當x＝9時，y＝－( 9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越過球網
由－( x－6)2＋2.6＝0，x ＞0，得x＝6＋＞18
或由x＝18時，y＝－( 18－6)2＋2.6＝0.2＞0，∴球落地時會出界
（3）根據題設知y＝a( x－6)2＋h
由圖象經過點（0，2），得36a＋h＝2 ①
由球能越過球網，得9a＋h ＞2.43 ②
由球不出邊界，得144a＋h ≤0
解得h ≥，所以h的取值範圍是h ≥
5．（安徽某校自主招生）已知二次函式y＝x 2－2mx＋1．記當x＝c時，相應的函式值為yc，那麼，是否存在實數m，使得對於滿足0≤x ≤1的任意實數a、b，總有ya＋yb ≥1．如果存在，求出實數m的取值範圍；如果不存在，請說明理由．
解：設f( x )在0≤x ≤1的最小值為m，原問題等價於2m ≥1，即m ≥
二次函式y＝x 2－2mx＋1的圖象是一條開口向上的拋物線
①當對稱軸x＝m ≤0時，由圖象可知，x＝0時，y最小＝1，此時1≥成立
②當對稱軸x＝m在0＜m ＜1時，由圖象可知x＝m時，y最小且y最小＝1－m 2
此時有1－m 2 ≥，即m 2≤，故有0＜m ≤
③當對稱軸x＝m在m ≥1時，由圖象可知，x＝1時，y最小且y最小＝2－2m
此時有2－2m ≥，即m ≤，與m ≥1矛盾，故捨去
綜上可知，滿足條件的m存在，且m的取值範圍是m ≤
6．（浙江模擬）已知二次函式y＝x 2＋ax＋a－2．
（1）證明：不論a取何值，拋物線y＝x 2＋ax＋a－2的頂點p總在x軸的下方；
（2）設拋物線y＝x 2＋ax＋a－2與y軸交於點c，如果過點c且平行於x軸的直線與該拋物線有兩個不同的交點，並設另乙個交點為點d，問：△qcd能否是等邊三角形？若能，請求出相應的二次函式解析式；若不能，請說明理由；
（3）在第（2）的條件下，設拋物線與x軸的交點之一為點a，則能使△acd的面積等於的拋物線有幾條？請證明你的結論．
解：（1）∵判別式△＝a 2－4( a－2)＝( a－2)2＋4＞0
∴拋物線與x軸總有兩個交點
又∵拋物線開口向上，∴拋物線的頂點在x軸下方
（或由二次函式解析式得：y＝( x＋)2－a 2＋a－2
∵拋物線頂點的縱座標為－a 2＋a－2＝－[( a－2)2＋1]＜0，當a取任何實數時總成立
∴不論a取何值，拋物線的頂點p總在x軸的下方）
（2）由條件得：拋物線頂點q(－，－ a 2＋a－2)，點c( 0，a－2)
當a≠0時，過點c存在平行於x軸的直線與拋物線相交於另一點d
此時cd＝|－a|，點q到cd的距離為|( a－2)－(－a 2＋a－2)＝a 2
過q作qp⊥cd於p
要使△qcd為等邊三角形，則需op＝cd，即a 2＝|－a|
由a≠0，解得a＝±2（或由cd＝cq，或由cp＝co等求得a的值）
∴△qcd可以是等邊三角形
此時相應的二次函式解析式為y＝x 2＋2x＋2－2或y＝x 2－2x－2－2
（3）∵cd＝|－a|，點a到cd的距離為＝|a－2|
由s△acd＝|a( a－2)|＝，解得a＝1±或a＝1±
∴滿足條件的拋物線有四條
7．（江蘇鎮江）對於二次函式y＝x 2－3x＋2和一次函式y＝－2x＋4，把y＝t( x 2－3x＋2)＋( 1－t )( －2x＋4 )稱為這兩個函式的「再生二次函式」，其中t是不為零的實數，其圖象記作拋物線e．
現有點a（2，0）和拋物線e上的點b（－1，n），請完成下列任務：
【嘗試】
（1）當t＝2時，拋物線y＝t( x 2－3x＋2)＋( 1－t )( －2x＋4 )的頂點座標為
（2）判斷點a是否在拋物線e上；
（3）求n的值；
【發現】通過（2）和（3）的演算可知，對於t取任何不為零的實數，拋物線e總過定點，座標為
【應用1】二次函式y＝－3x 2＋5x＋2是二次函式y＝x 2－3x＋2和一次函式y＝－2x＋4的乙個「再生二次函式」嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由；
【應用2】以ab為邊作矩形abcd，使得其中乙個頂點落在y軸上，若拋物線e經過a、b、c、d其中的三點，求出所有符合條件的t的值．
解：[嘗試]（1）（1，－2）
（2）將x＝2代入y＝t( x 2－3x＋2)＋( 1－t )( －2x＋4 )，得y＝0，所以點a（2，0）在拋物線e上
（3）將x＝－1代入n＝t( x 2－3x＋2)＋( 1－t )( －2x＋4 )＝6
[發現]a（2，0），b（－1，6）
[應用1]∵x＝－1代入y＝－3x 2＋5x＋2，計算得y＝－6≠6
∴拋物線y＝－3x 2＋5x＋2不經過點b
∴二次函式y＝－3x 2＋5x＋2不是二次函式y＝x 2－3x＋2和一次函式y＝－2x＋4的乙個「再生二次函式」
中考二次函式壓軸題
選擇題 1 y m 2 xm2 m 是關於x的二次函式，則m a 1 b 2 c 1或2 d m不存在 2 下列函式關係中，可以看作二次函式y ax2 bx c a 0 模型的是 a 在一定距離內，汽車行駛的速度與行駛的時間的關係 b 我國人中自然增長率為1 這樣我國總人口數隨年份變化的關係 c 矩...
2023年中考真題二次函式壓軸題
2018年中考真題 二次函式壓軸題1 1 如圖，拋物線y x2 bx c交x軸於點a，b，交y軸於點c 點b的座標為 3，0 點c的座標為 0，3 點c與點d關於拋物線的對稱軸對稱 1 求拋物線的解析式 2 若點p為拋物線對稱軸上一點，連線bd，以pd，pb為邊作平行四邊形pdnb，是否存在這樣的點...
2023年中考數學衝刺複習 二次函式壓軸題 含答案
面積類1 如圖，已知拋物線經過點a 1，0 b 3，0 c 0，3 三點 1 求拋物線的解析式 2 點m是線段bc上的點 不與b，c重合 過m作mn y軸交拋物線於n，若點m的橫座標為m，請用m的代數式表示mn的長 3 在 2 的條件下，連線nb nc，是否存在m，使 bnc的面積最大？若存在，求m...