中考二次函式綜合壓軸題型歸類
一、常考點彙總
1、兩點間的距離公式：
2、中點座標：線段的中點的座標為：
直線（）與（）的位置關係：
（1）兩直線平行且 （2）兩直線相交
（3）兩直線重合且 （4）兩直線垂直
3、一元二次方程有整數根問題，解題步驟如下：
① 用和引數的其他要求確定引數的取值範圍；
② 解方程，求出方程的根；（兩種形式：分式、二次根式）
③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因數；若是二次根式，被開方式是完全平方式。
例：關於的一元二次方程有兩個整數根，且為整數，求的值。
4、二次函式與軸的交點為整數點問題。（方法同上）
例：若拋物線與軸交於兩個不同的整數點，且為正整數，試確定此拋物線的解析式。
5、方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下：
已知關於的方程（為實數），求證：無論為何值，方程總有乙個固定的根。
解：當時，；
當時，，，、；
綜上所述：無論為何值，方程總有乙個固定的根是1。
6、函式過固定點問題，舉例如下：
已知拋物線（是常數），求證：不論為何值，該拋物線總經過乙個固定的點，並求出固定點的座標。
解：把原解析式變形為關於的方程；
∴，解得：；
∴ 拋物線總經過乙個固定的點（1，－1）。
（題目要求等價於：關於的方程不論為何值，方程恆成立）
小結：關於的方程有無數解
7、路徑最值問題（待定的點所在的直線就是對稱軸）
（1）如圖，直線、，點在上，分別在、上確定兩點、，使得之和最小。
（2）如圖，直線、相交，兩個固定點、，分別在、上確定兩點、，使得之和最小。
（3）如圖，是直線同旁的兩個定點，線段，在直線上確定兩點、（在的左側 ），使得四邊形的周長最小。
8、在平面直角座標系中求面積的方法：直接用公式、割補法
三角形的面積求解常用方法：如右圖，s△pab=1/2 ·pm·△x=1/2 ·an·△y
9、函式的交點問題：二次函式（）與一次函式（）
（1）解方程組可求出兩個圖象交點的座標。
（2）解方程組，即，
通過可判斷兩個圖象的交點的個數
有兩個交點
僅有乙個交點
沒有交點
10、方程法
（1）設：設主動點的座標或基本線段的長度
（2）表示：用含同一未知數的式子表示其他相關的數量
（3）列方程或關係式
11、幾何分析法
特別是構造「平行四邊形」、「梯形」、「相似三角形」、「直角三角形」、「等腰三角形」等圖形時，利用幾何分析法能給解題帶來方便。
【例題精講】
一基礎構圖：
y=（以下幾種分類的函式解析式就是這個）
★和最小，差最大在對稱軸上找一點p，使得pb+pc的和最小，求出p點座標
在對稱軸上找一點p，使得pb-pc的差最大，求出p點座標
★求面積最大連線ac,在第四象限找一點p，使得面積最大，求出p座標
★ 討論直角三角連線ac,在對稱軸上找一點p，使得為直角三角形，
求出p座標或者在拋物線上求點p，使△acp是以ac為直角邊的直角三角形．
★ 討論等腰三角連線ac,在對稱軸上找一點p，使得為等腰三角形，
求出p座標
★ 討論平行四邊形 1、點e在拋物線的對稱軸上，點f在拋物線上，
且以b，a，f，e四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點f的座標
二綜合題型
例1 (中考變式）如圖，拋物線與x軸交與a(1,0),b(-3，0)兩點，頂點為d。交y軸於c
(1)求該拋物線的解析式與△abc的面積。
(2)在拋物線第二象限圖象上是否存在一點m，使△mbc是以∠bcm為直角的直角三角形，若存在，求出點p的座標。若沒有，請說明理由
(3)若e為拋物線b、c兩點間圖象上的乙個動點(不與a、b重合)，過e作ef與x軸垂直，交bc於f，設e點橫座標為的長度為l，
求l關於x的函式關係式？關寫出x的取值範圍？
當e點運動到什麼位置時，線段ef的值最大，並求此時e點的座標？
(4)在（5）的情況下直線bc與拋物線的對稱軸交於點h。當e點運動到什麼位置時,以點e、f、h、d為頂點的四邊形為平行四邊形？
(5)在（5）的情況下點e運動到什麼位置時，使三角形bce的面積最大？
例2 考點： 關於面積最值
如圖，在平面直角座標系中，點a、c的座標分別為(－1，0)、(0，)，點b在x軸上．已知某二次函式的圖象經過a、b、c三點，且它的對稱軸為直線x＝1，點p為直線bc下方的二次函式圖象上的乙個動點（點p與b、c不重合），過點p作y軸的平行線交bc於點f．
（1）求該二次函式的解析式；
（2）若設點p的橫座標為m，試用含m的代數式表示線段pf的長；
（3）求△pbc面積的最大值，並求此時點p的座標．
例3 考點：討論等腰
如圖，已知拋物線y＝x 2＋bx＋c與y軸相交於c，與x軸相交於a、b，點a的座標為（2，0），點c的座標為（0，－1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點e是線段ac上一動點，過點e作de⊥x軸於點d，鏈結dc，當△dce的面積最大時，求點d的座標；
（3）在直線bc上是否存在一點p，使△acp為等腰三角形，若存在，求點p的座標，若不存在，說明理由．
例4考點：討論直角三角
⑴ 如圖，已知點a（一1，0）和點b（1，2），在座標軸上
確定點p，使得△abp為直角三角形，則滿足這樣條件的點p共有（ ）．
(a）2個 （b）4個 （c） 6個（d）7個
⑵ 已知：如圖一次函式y＝x＋1的圖象與x軸交於點a，與y軸交於點b；二次函式y＝x 2＋bx＋c的圖象與一次函式y＝x＋1的圖象交於b、c兩點，與x軸交於d、e兩點且d點座標為（1，0）
（1）求二次函式的解析式；
（2）求四邊形bdec的面積s；
（3）在x軸上是否存在點p，使得△pbc是以p為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點p，若不存在，請說明理由．
例5 考點：討論四邊形
已知：如圖所示，關於x的拋物線y＝ax 2＋x＋c（a≠0）與x軸交於點a（－2，0），點b（6，0），與y軸交於點c．
（1）求出此拋物線的解析式，並寫出頂點座標；
（2）在拋物線上有一點d，使四邊形abdc為等腰梯形，寫出點d的座標，並求出直線ad的解析式；
（3）在（2）中的直線ad交拋物線的對稱軸於點m，拋物線上有一動點p，x軸上有一動點q．是否存在以a、m、p、q為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點q的座標；如果不存在，請說明理由．
綜合練習：
[, ]平面直角座標系xoy中，拋物線與x軸交於點a、點b，與y軸的正半軸交於點c，點 a的座標為(1, 0)，ob＝oc，拋物線的頂點為d。
(1) 求此拋物線的解析式；
(2) 若此拋物線的對稱軸上的點p滿足∠apb＝∠acb，求點p的座標；
(3) q為線段bd上一點，點a關於∠aqb的平分線的對稱點為，若，求點q的座標和此時△的面積。
[, ]在平面直角座標系中，已知二次函式的影象與軸交於點，與軸交於a、b兩點，點b的座標為。
（1） 求二次函式的解析式及頂點d的座標；
（2） 點m是第二象限內拋物線上的一動點，若直線om把四邊形acdb分成面積為1 ：2的兩部分，求出此時點的座標；
（3） 點p是第二象限內拋物線上的一動點，問：點p在何處時△的面積最大？最大面積是多少？並求出此時點p的座標。
[, ]如圖，在平面直角座標系中，拋物線與軸負半軸交於點，頂點為，且對稱軸與軸交於點。
（1）求點的座標（用含的代數式表示）；
（2）為中點，直線交軸於，若（0，2），求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點在直線上，且使得的周長最小，在拋物線上，在直線上，若以為頂點的四邊形是平行四邊形，求點的座標。
[, ]已知關於的方程。
（1） 若方程有兩個不相等的實數根，求的取值範圍；
（2） 若正整數滿足，設二次函式的圖象與軸交於兩點，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻摺，圖象的其餘部分保持不變，得到乙個新的圖象；請你結合這個新的圖象回答：當直線與此圖象恰好有三個公共點時，求出的值（只需要求出兩個滿足題意的k值即可）。
5如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a≠0）與y軸交於點c（0，4），與x軸交於點a（﹣4，0）和b．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點q是線段ab上的動點，過點q作qe∥ac，交bc於點e，連線cq．當△ceq的面積最大時，求點q的座標；
（3）平行於x軸的動直線l與該拋物線交於點p，與直線ac交於點f，點d的座標為（﹣2，0）．問是否有直線l，使△odf是等腰三角形？若存在，請求出點f的座標；若不存在，請說明理由．
三、中考二次函式代數型綜合題
題型一、拋物線與x軸的兩個交點分別位於某定點的兩側
例1．已知二次函式y＝x 2＋(m－1)x＋m－2的圖象與x軸相交於a（x1，0），b（x2，0）兩點，且x1＜x2．
（1）若x1x2＜0，且m為正整數，求該二次函式的表示式；
（2）若x1＜1，x2＞1，求m的取值範圍；
（3）是否存在實數m，使得過a、b兩點的圓與y軸相切於點c（0，2），若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
（4）若過點d（0，）的直線與（1）中的二次函式圖象相交於m、n兩點，且＝，求該直線的表示式．
題型二、拋物線與x軸兩交點之間的距離問題
例2 已知二次函式y= x 2+mx+m-5，
（1）求證：不論m取何值時，拋物線總與x軸有兩個交點；
（2）求當m取何值時，拋物線與x軸兩交點之間的距離最短．
題型三、拋物線方程的整數解問題
例1． 已知拋物線與x軸的兩個交點的橫座標均為整數，且m＜5，則整數m的值為
例2．已知二次函式y＝x 2－2mx＋4m－8．
中考二次函式壓軸題
選擇題 1 y m 2 xm2 m 是關於x的二次函式，則m a 1 b 2 c 1或2 d m不存在 2 下列函式關係中，可以看作二次函式y ax2 bx c a 0 模型的是 a 在一定距離內，汽車行駛的速度與行駛的時間的關係 b 我國人中自然增長率為1 這樣我國總人口數隨年份變化的關係 c 矩...
中考數學衝刺複習二次函式壓軸題
2016年中考數學衝刺複習資料 二次函式壓軸題 面積類1 解答 解 1 設拋物線的解析式為 y a x 1 x 3 則 a 0 1 0 3 3，a 1 拋物線的解析式 y x 1 x 3 x2 2x 3 2 設直線bc的解析式為 y kx b，則有 解得 故直線bc的解析式 y x 3 已知點m的橫...
二次函式常見壓軸題型
y 以下幾種分類的函式解析式就是這個 和最小，差最大在對稱軸上找一點p，使得pb pc的和最小，求出p點座標 在對稱軸上找一點p，使得pb pc的差最大，求出p點座標 典例如圖13，拋物線y ax2 bx c a 0 的頂點為 1,4 交x軸於a b，交y軸於d，其中b點的座標為 3,0 1 求拋物...