2023年中考數學衝刺複習資料:二次函式壓軸題
面積類1．解答：
解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣3），則：
a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴拋物線的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．
（2）設直線bc的解析式為：y=kx+b，則有：
，解得；
故直線bc的解析式：y=﹣x+3．
已知點m的橫座標為m，mn∥y，則m（m，﹣m+3）、n（m，﹣m2+2m+3）；
∴故mn=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如圖；
∵s△bnc=s△mnc+s△mnb=mn（od+db）=mnob，
∴s△bnc=（﹣m2+3m）3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；
∴當m=時，△bnc的面積最大，最大值為．
2．解答：
解：（1）將b（4，0）代入拋物線的解析式中，得：
0=16a﹣×4﹣2，即：a=；
∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2．
（2）由（1）的函式解析式可求得：a（﹣1，0）、c（0，﹣2）；
∴oa=1，oc=2，ob=4，
即：oc2=oaob，又：oc⊥ab，
∴△oac∽△ocb，得：∠oca=∠obc；
∴∠acb=∠oca+∠ocb=∠obc+∠ocb=90°，
∴△abc為直角三角形，ab為△abc外接圓的直徑；
所以該外接圓的圓心為ab的中點，且座標為：（，0）．
（3）已求得：b（4，0）、c（0，﹣2），可得直線bc的解析式為：y=x﹣2；
設直線l∥bc，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當直線l與拋物線只有乙個交點時，可列方程：
x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；
∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；
∴直線l：y=x﹣4．
所以點m即直線l和拋物線的唯一交點，有：
，解得：即 m（2，﹣3）．
過m點作mn⊥x軸於n，
s△bmc=s梯形ocmn+s△mnb﹣s△ocb=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．
平行四邊形類
3解答：
解：（1）把a（3，0）b（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得
解得，所以拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3．
設直線ab的解析式是y=kx+b，
把a（3，0）b（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，
所以直線ab的解析式是y=x﹣3；
（2）設點p的座標是（t，t﹣3），則m（t，t2﹣2t﹣3），
因為p在第四象限，
所以pm=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，
當t=﹣=時，二次函式的最大值，即pm最長值為=，
則s△abm=s△bpm+s△apm==．
（3）存在，理由如下：
∵pm∥ob，
∴當pm=ob時，點p、m、b、o為頂點的四邊形為平行四邊形，
①當p在第四象限：pm=ob=3，pm最長時只有，所以不可能有pm=3．
②當p在第一象限：pm=ob=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（捨去），所以p點的橫座標是；
③當p在第三象限：pm=ob=3，t2﹣3t=3，解得t1=（捨去），t2=，所以p點的橫座標是．
所以p點的橫座標是或．
4．解答：
解：（1）△a′b′o是由△abo繞原點o逆時針旋轉90°得到的，
又a（0，1），b（2，0），o（0，0），
∴a′（﹣1，0），b′（0，2）．
方法一：
設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c（a≠0），
∵拋物線經過點a′、b′、b，
∴，解得：，∴滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2．
方法二：∵a′（﹣1，0），b′（0，2），b（2，0），
設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2）
將b′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），
解得：a=﹣1，
故滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；
（2）∵p為第一象限內拋物線上的一動點，
設p（x，y），則x＞0，y＞0，p點座標滿足y=﹣x2+x+2．
連線pb，po，pb′，
∴s四邊形pb′a′b=s△b′oa′+s△pb′o+s△pob，
=×1×2+×2×x+×2×y，
=x+（﹣x2+x+2）+1，
=﹣x2+2x+3．
∵a′o=1，b′o=2，∴△a′b′o面積為：×1×2=1，
假設四邊形pb′a′b的面積是△a′b′o面積的4倍，則
4=﹣x2+2x+3，
即x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
此時y=﹣12+1+2=2，即p（1，2）．
∴存在點p（1，2），使四邊形pb′a′b的面積是△a′b′o面積的4倍．
（3）四邊形pb′a′b為等腰梯形，答案不唯一，下面性質中的任意2個均可．
①等腰梯形同一底上的兩個內角相等；②等腰梯形對角線相等；
③等腰梯形上底與下底平行；④等腰梯形兩腰相等10分）
或用符號表示：
①∠b′a′b=∠pba′或∠a′b′p=∠bpb′；②pa′=b′b；③b′p∥a′b；④b′a′=pb10分）
5．解答：
解：（1）∵頂點a的橫座標為x=﹣=1，且頂點a在y=x﹣5上，
∴當x=1時，y=1﹣5=﹣4，
∴a（1，﹣4）．
（2）△abd是直角三角形．
將a（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，
∴y=x2﹣2x﹣3，∴b（0，﹣3）
當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3
∴c（﹣1，0），d（3，0），
bd2=ob2+od2=18，ab2=（4﹣3）2+12=2，ad2=（3﹣1）2+42=20，
bd2+ab2=ad2，
∴∠abd=90°，即△abd是直角三角形．
（3）存在．
由題意知：直線y=x﹣5交y軸於點e（0，﹣5），交x軸於點f（5，0）
∴oe=of=5，
又∵ob=od=3
∴△oef與△obd都是等腰直角三角形
∴bd∥l，即pa∥bd
則構成平行四邊形只能是padb或pabd，如圖，
過點p作y軸的垂線，過點a作x軸的垂線交過p且平行於x軸的直線於點g．
設p（x1，x1﹣5），則g（1，x1﹣5）
則pg=|1﹣x1|，ag=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|
pa=bd=3
由勾股定理得：
（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4
∴p（﹣2，﹣7）或p（4，﹣1），
存在點p（﹣2，﹣7）或p（4，﹣1）使以點a、b、d、p為頂點的四邊形是平行四邊形．
周長類6．解答：
解：（1）∵拋物線y=經過點b（0，4）∴c=4，
∵頂點在直線x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；
∴所求函式關係式為；
（2）在rt△abo中，oa=3，ob=4，∴ab=，
∵四邊形abcd是菱形，∴bc=cd=da=ab=5，
∴c、d兩點的座標分別是（5，4）、（2，0），
當x=5時，y=，
當x=2時，y=，
∴點c和點d都在所求拋物線上；
（3）設cd與對稱軸交於點p，則p為所求的點，
設直線cd對應的函式關係式為y=kx+b，
則，解得：，∴，
當x=時，y=，∴p（），
（4）∵mn∥bd，
∴△omn∽△obd，
∴即得on=，
設對稱軸交x於點f，
則（pf+om）of=（+t）×，
∵，s△pnf=×nfpf=×（﹣t）×=，
s=（﹣），
=﹣（0＜t＜4），
a=﹣＜0∴拋物線開口向下，s存在最大值．
由s△pmn=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，
∴當t=時，s取最大值是，此時，點m的座標為（0，）．
等腰三角形類
7．解答：
解：（1）如圖，過b點作bc⊥x軸，垂足為c，則∠bco=90°，
∵∠aob=120°，∴∠boc=60°，
又∵oa=ob=4，∴oc=ob=×4=2，bc=obsin60°=4×=2，
∴點b的座標為（﹣2，﹣2）；
（2）∵拋物線過原點o和點a、b，∴可設拋物線解析式為y=ax2+bx，
將a（4，0），b（﹣2．﹣2）代入，得
，解得，∴此拋物線的解析式為y=﹣x2+x
（3）存在，
如圖，拋物線的對稱軸是直線x=2，直線x=2與x軸的交點為d，設點p的座標為（2，y），
①若ob=op，
則22+|y|2=42，解得y=±2，
當y=2時，在rt△pod中，∠pdo=90°，sin∠pod==，
∴∠pod=60°，
∴∠pob=∠pod+∠aob=60°+120°=180°，
即p、o、b三點在同一直線上，
∴y=2不符合題意，捨去，
∴點p的座標為（2，﹣2）
②若ob=pb，則42+|y+2|2=42，
解得y=﹣2，
故點p的座標為（2，﹣2），
③若op=bp，則22+|y|2=42+|y+2|2，
解得y=﹣2，
故點p的座標為（2，﹣2），
綜上所述，符合條件的點p只有乙個，其座標為（2，﹣2），
8．解答：
解：（1）過點b作bd⊥x軸，垂足為d，
∵∠bcd+∠aco=90°，∠aco+∠cao=90°，
∴∠bcd=∠cao，（1分）
又∵∠bdc=∠coa=90°，cb=ac，
∴△bcd≌△cao，（2分）
∴bd=oc=1，cd=oa=2，（3分）
∴點b的座標為（﹣3，1）；（4分）
（2）拋物線y=ax2+ax﹣2經過點b（﹣3，1），
則得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）
解得a=，
所以拋物線的解析式為y=x2+x﹣2；（7分）
（3）假設存在點p，使得△acp仍然是以ac為直角邊的等腰直角三角形：
①若以點c為直角頂點；
則延長bc至點p1，使得p1c=bc，得到等腰直角三角形△acp1，（8分）
過點p1作p1m⊥x軸，
∵cp1=bc，∠mcp1=∠bcd，∠p1mc=∠bdc=90°，
∴△mp1c≌△dbc．（10分）
∴cm=cd=2，p1m=bd=1，可求得點p1（1，﹣1）；（11分）
②若以點a為直角頂點；
則過點a作ap2⊥ca，且使得ap2=ac，得到等腰直角三角形△acp2，（12分）
過點p2作p2n⊥y軸，同理可證△ap2n≌△cao，（13分）
∴np2=oa=2，an=oc=1，可求得點p2（2，1），（14分）
經檢驗，點p1（1，﹣1）與點p2（2，1）都在拋物線y=x2+x﹣2上．（16分）
中考二次函式壓軸題
選擇題 1 y m 2 xm2 m 是關於x的二次函式，則m a 1 b 2 c 1或2 d m不存在 2 下列函式關係中，可以看作二次函式y ax2 bx c a 0 模型的是 a 在一定距離內，汽車行駛的速度與行駛的時間的關係 b 我國人中自然增長率為1 這樣我國總人口數隨年份變化的關係 c 矩...
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