面積類1．如圖，已知拋物線經過點a（﹣1，0）、b（3，0）、c（0，3）三點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點m是線段bc上的點（不與b，c重合），過m作mn∥y軸交拋物線於n，若點m的橫座標為m，請用m的代數式表示mn的長．
（3）在（2）的條件下，連線nb、nc，是否存在m，使△bnc的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．
考點：二次函式綜合題．
專題：壓軸題；數形結合．
分析：（1）已知了拋物線上的三個點的座標，直接利用待定係數法即可求出拋物線的解析式．
（2）先利用待定係數法求出直線bc的解析式，已知點m的橫座標，代入直線bc、拋物線的解析式中，可得到m、n點的座標，n、m縱座標的差的絕對值即為mn的長．
（3）設mn交x軸於d，那麼△bnc的面積可表示為：s△bnc=s△mnc+s△mnb=mn（od+db）=mnob，mn的表示式在（2）中已求得，ob的長易知，由此列出關於s△bnc、m的函式關係式，根據函式的性質即可判斷出△bnc是否具有最大值．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣3），則：
a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴拋物線的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．
（2）設直線bc的解析式為：y=kx+b，則有：
，解得；
故直線bc的解析式：y=﹣x+3．
已知點m的橫座標為m，mn∥y，則m（m，﹣m+3）、n（m，﹣m2+2m+3）；
∴故mn=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如圖；
∵s△bnc=s△mnc+s△mnb=mn（od+db）=mnob，
∴s△bnc=（﹣m2+3m）3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；
∴當m=時，△bnc的面積最大，最大值為．
2．如圖，拋物線的圖象與x軸交於a、b兩點，與y軸交於c點，已知b點座標為（4，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）試**△abc的外接圓的圓心位置，並求出圓心座標；
（3）若點m是線段bc下方的拋物線上一點，求△mbc的面積的最大值，並求出此時m點的座標．
考點：二次函式綜合題．.
專題：壓軸題；轉化思想．
分析：（1）該函式解析式只有乙個待定係數，只需將b點座標代入解析式中即可．
（2）首先根據拋物線的解析式確定a點座標，然後通過證明△abc是直角三角形來推導出直徑ab和圓心的位置，由此確定圓心座標．
（3）△mbc的面積可由s△mbc=bc×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點m到直線bc的距離最大，若設一條平行於bc的直線，那麼當該直線與拋物線有且只有乙個交點時，該交點就是點m．
解答：解：（1）將b（4，0）代入拋物線的解析式中，得：
0=16a﹣×4﹣2，即：a=；
∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2．
（2）由（1）的函式解析式可求得：a（﹣1，0）、c（0，﹣2）；
∴oa=1，oc=2，ob=4，
即：oc2=oaob，又：oc⊥ab，
∴△oac∽△ocb，得：∠oca=∠obc；
∴∠acb=∠oca+∠ocb=∠obc+∠ocb=90°，
∴△abc為直角三角形，ab為△abc外接圓的直徑；
所以該外接圓的圓心為ab的中點，且座標為：（，0）．
（3）已求得：b（4，0）、c（0，﹣2），可得直線bc的解析式為：y=x﹣2；
設直線l∥bc，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當直線l與拋物線只有乙個交點時，可列方程：
x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；
∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；
∴直線l：y=x﹣4．
所以點m即直線l和拋物線的唯一交點，有：
，解得：即 m（2，﹣3）．
過m點作mn⊥x軸於n，
s△bmc=s梯形ocmn+s△mnb﹣s△ocb=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．
平行四邊形類
3．如圖，在平面直角座標系中，拋物線y=x2+mx+n經過點a（3，0）、b（0，﹣3），點p是直線ab上的動點，過點p作x軸的垂線交拋物線於點m，設點p的橫座標為t．
（1）分別求出直線ab和這條拋物線的解析式．
（2）若點p在第四象限，連線am、bm，當線段pm最長時，求△abm的面積．
（3）是否存在這樣的點p，使得以點p、m、b、o為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點p的橫座標；若不存在，請說明理由．
考點：二次函式綜合題；解一元二次方程－因式分解法；待定係數法求一次函式解析式；待定係數法求二次函式解析式；三角形的面積；平行四邊形的判定．.
專題：壓軸題；存在型．
分析：（1）分別利用待定係數法求兩函式的解析式：把a（3，0）b（0，﹣3）分別代入y=x2+mx+n與y=kx+b，得到關於m、n的兩個方程組，解方程組即可；
（2）設點p的座標是（t，t﹣3），則m（t，t2﹣2t﹣3），用p點的縱座標減去m的縱座標得到pm的長，即pm=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然後根據二次函式的最值得到
當t=﹣=時，pm最長為=，再利用三角形的面積公式利用s△abm=s△bpm+s△apm計算即可；
（3）由pm∥ob，根據平行四邊形的判定得到當pm=ob時，點p、m、b、o為頂點的四邊形為平行四邊形，然後討論：當p在第四象限：pm=ob=3，pm最長時只有，所以不可能；當p在第一象限：
pm=ob=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；當p在第三象限：pm=ob=3，t2﹣3t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值．
解答：解：（1）把a（3，0）b（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得
解得，所以拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3．
設直線ab的解析式是y=kx+b，
把a（3，0）b（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，
所以直線ab的解析式是y=x﹣3；
（2）設點p的座標是（t，t﹣3），則m（t，t2﹣2t﹣3），
因為p在第四象限，
所以pm=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，
當t=﹣=時，二次函式的最大值，即pm最長值為=，
則s△abm=s△bpm+s△apm==．
（3）存在，理由如下：
∵pm∥ob，
∴當pm=ob時，點p、m、b、o為頂點的四邊形為平行四邊形，
①當p在第四象限：pm=ob=3，pm最長時只有，所以不可能有pm=3．
②當p在第一象限：pm=ob=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（捨去），所以p點的橫座標是；
③當p在第三象限：pm=ob=3，t2﹣3t=3，解得t1=（捨去），t2=，所以p點的橫座標是．
所以p點的橫座標是或．
4．如圖，在平面直角座標系中放置一直角三角板，其頂點為a（0，1），b（2，0），o（0，0），將此三角板繞原點o逆時針旋轉90°，得到△a′b′o．
（1）一拋物線經過點a′、b′、b，求該拋物線的解析式；
（2）設點p是在第一象限內拋物線上的一動點，是否存在點p，使四邊形pb′a′b的面積是△a′b′o面積4倍？若存在，請求出p的座標；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，試指出四邊形pb′a′b是哪種形狀的四邊形？並寫出四邊形pb′a′b的兩條性質．
考點：二次函式綜合題．.
專題：壓軸題．
分析：（1）利用旋轉的性質得出a′（﹣1，0），b′（0，2），再利用待定係數法求二次函式解析式即可；
（2）利用s四邊形pb′a′b=s△b′oa′+s△pb′o+s△pob，再假設四邊形pb′a′b的面積是△a′b′o面積的4倍，得出一元二次方程，得出p點座標即可；
（3）利用p點座標以及b點座標即可得出四邊形pb′a′b為等腰梯形，利用等腰梯形性質得出答案即可．
解答：解：（1）△a′b′o是由△abo繞原點o逆時針旋轉90°得到的，
又a（0，1），b（2，0），o（0，0），
∴a′（﹣1，0），b′（0，2）．
方法一：
設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c（a≠0），
∵拋物線經過點a′、b′、b，
∴，解得：，∴滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2．
方法二：∵a′（﹣1，0），b′（0，2），b（2，0），
設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2）
將b′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），
解得：a=﹣1，
故滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；
（2）∵p為第一象限內拋物線上的一動點，
設p（x，y），則x＞0，y＞0，p點座標滿足y=﹣x2+x+2．
連線pb，po，pb′，
∴s四邊形pb′a′b=s△b′oa′+s△pb′o+s△pob，
=×1×2+×2×x+×2×y，
=x+（﹣x2+x+2）+1，
=﹣x2+2x+3．
∵a′o=1，b′o=2，∴△a′b′o面積為：×1×2=1，
假設四邊形pb′a′b的面積是△a′b′o面積的4倍，則
4=﹣x2+2x+3，
即x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
此時y=﹣12+1+2=2，即p（1，2）．
∴存在點p（1，2），使四邊形pb′a′b的面積是△a′b′o面積的4倍．
（3）四邊形pb′a′b為等腰梯形，答案不唯一，下面性質中的任意2個均可．
①等腰梯形同一底上的兩個內角相等；②等腰梯形對角線相等；
③等腰梯形上底與下底平行；④等腰梯形兩腰相等10分）
或用符號表示：
①∠b′a′b=∠pba′或∠a′b′p=∠bpb′；②pa′=b′b；③b′p∥a′b；④b′a′=pb10分）
5．如圖，拋物線y=x2﹣2x+c的頂點a在直線l：y=x﹣5上．
（1）求拋物線頂點a的座標；
（2）設拋物線與y軸交於點b，與x軸交於點c、d（c點在d點的左側），試判斷△abd的形狀；
（3）在直線l上是否存在一點p，使以點p、a、b、d為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點p的座標；若不存在，請說明理由．
考點：二次函式綜合題．.
專題：壓軸題；分類討論．
分析：（1）先根據拋物線的解析式得出其對稱軸，由此得到頂點a的橫座標，然後代入直線l的解析式中即可求出點a的座標．
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