2023年中考數學衝刺複習資料:二次函式壓軸題
面積類1．如圖，已知拋物線經過點a（﹣1，0）、b（3，0）、c（0，3）三點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點m是線段bc上的點（不與b，c重合），過m作mn∥y軸交拋物線於n，若點m的橫座標為m，請用m的代數式表示mn的長．
（3）在（2）的條件下，連線nb、nc，是否存在m，使△bnc的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．
平行四邊形類
3．如圖，在平面直角座標系中，拋物線y=x2+mx+n經過點a（3，0）、b（0，﹣3），點p是直線ab上的動點，過點p作x軸的垂線交拋物線於點m，設點p的橫座標為t．
（1）分別求出直線ab和這條拋物線的解析式．
（2）若點p在第四象限，連線am、bm，當線段pm最長時，求△abm的面積．
（3）是否存在這樣的點p，使得以點p、m、b、o為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點p的橫座標；若不存在，請說明理由．
4．如圖，在平面直角座標系中放置一直角三角板，其頂點為a（0，1），b（2，0），o（0，0），將此三角板繞原點o逆時針旋轉90°，得到△a′b′o．
（1）一拋物線經過點a′、b′、b，求該拋物線的解析式；
（2）設點p是在第一象限內拋物線上的一動點，是否存在點p，使四邊形pb′a′b的面積是△a′b′o面積4倍？若存在，請求出p的座標；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，試指出四邊形pb′a′b是哪種形狀的四邊形？並寫出四邊形pb′a′b的兩條性質．
5．如圖，拋物線y=x2﹣2x+c的頂點a在直線l：y=x﹣5上．
（1）求拋物線頂點a的座標；
（2）設拋物線與y軸交於點b，與x軸交於點c、d（c點在d點的左側），試判斷△abd的形狀；
（3）在直線l上是否存在一點p，使以點p、a、b、d為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點p的座標；若不存在，請說明理由．
周長類6．如圖，rt△abo的兩直角邊oa、ob分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，o為座標原點，a、b兩點的座標分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經過點b，且頂點在直線x=上．
（1）求拋物線對應的函式關係式；
（2）若把△abo沿x軸向右平移得到△dce，點a、b、o的對應點分別是d、c、e，當四邊形abcd是菱形時，試判斷點c和點d是否在該拋物線上，並說明理由；
（3）在（2）的條件下，連線bd，已知對稱軸上存在一點p使得△pbd的周長最小，求出p點的座標；
（4）在（2）、（3）的條件下，若點m是線段ob上的乙個動點（點m與點o、b不重合），過點m作∥bd交x軸於點n，連線pm、pn，設om的長為t，△pmn的面積為s，求s和t的函式關係式，並寫出自變數t的取值範圍，s是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時m點的座標；若不存在，說明理由．
等腰三角形類
7．如圖，點a在x軸上，oa=4，將線段oa繞點o順時針旋轉120°至ob的位置．
（1）求點b的座標；
（2）求經過點a、o、b的拋物線的解析式；
（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點p，使得以點p、o、b為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點p的座標；若不存在，說明理由．
．在平面直角座標系中，現將一塊等腰直角三角板abc放在第二象限，斜靠在兩座標軸上，且點a（0，2），點c（﹣1，0），如圖所示：拋物線y=ax2+ax﹣2經過點b．
（1）求點b的座標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點p（點b除外），使△acp仍然是以ac為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點p的座標；若不存在，請說明理由．
9．在平面直角座標系中，現將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩座標軸上，且點a（0，2），點c（1，0），如圖所示，拋物線y=ax2﹣ax﹣2經過點b．
（1）求點b的座標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點p（點b除外），使△acp仍然是以ac為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點p的座標；若不存在，請說明理由．
綜合類10．如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的乙個交點為b（5，0），另乙個交點為a，且與y軸交於點c（0，5）．
（1）求直線bc與拋物線的解析式；
（2）若點m是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點m作mn∥y軸交直線bc於點n，求mn的最大值；
（3）在（2）的條件下，mn取得最大值時，若點p是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以bc為邊作平行四邊形cbpq，設平行四邊形cbpq的面積為s1，△abn的面積為s2，且s1=6s2，求點p的座標．
11．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點c（0，1），頂點為q（2，3），點d在x軸正半軸上，且od=oc．
（1）求直線cd的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將直線cd繞點c逆時針方向旋轉45°所得直線與拋物線相交於另一點e，求證：△ceq∽△cdo；
（4）在（3）的條件下，若點p是線段qe上的動點，點f是線段od上的動點，問：在p點和f點移動過程中，△pcf的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．
12．如圖，拋物線與x軸交於a（1，0）、b（﹣3，0）兩點，與y軸交於點c（0，3），設拋物線的頂點為d．
（1）求該拋物線的解析式與頂點d的座標．
（2）試判斷△bcd的形狀，並說明理由．
（3）**座標軸上是否存在點p，使得以p、a、c為頂點的三角形與△bcd相似？若存在，請直接寫出點p的座標；若不存在，請說明理由．
對應練習
13．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交於a、b兩點，過點a的直線l與拋物線交於點c，其中a點的座標是（1，0），c點座標是（4，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點d，使△bcd的周長最小？若存在，求出點d的座標，若不存在，請說明理由；
（3）若點e是（1）中拋物線上的乙個動點，且位於直線ac的下方，試求△ace的最大面積及e點的座標．
14．如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交於a、b兩點，與y軸相交於點c，若已知a點的座標為a（﹣2，0）．
（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；
（2）求點c的座標，連線ac、bc並求線段bc所在直線的解析式；
（3）試判斷△aoc與△cob是否相似？並說明理由；
（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點q，使△acq為等腰三角形？若存在，求出符合條件的q點座標；若不存在，請說明理由．．..
15．如圖，在座標系xoy中，△abc是等腰直角三角形，∠bac=90°，a（1，0），b（0，2），拋物線y=x2+bx﹣2的圖象過c點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l．當l移動到何處時，恰好將△abc的面積分為相等的兩部分？
（3）點p是拋物線上一動點，是否存在點p，使四邊形pacb為平行四邊形？若存在，求出p點座標；若不存在，說明理由．
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