關鍵點十七圖形的分割與剪拼
縱觀近年來全國各地的中考試卷，圖形操作型的問題漸多，而這些題又可分為兩大類：一類是圍繞「圖形變換」展開的（我們已有專題論及），另一類是圍繞圖形的分割與剪拼展開的。我們現在要研究的，就是這後邊的一類，分割與剪拼的形式與依據主要有：
ⅰ、原圖形基礎上進行分割，而分割的要求又分為：
（1）借助於「邊、角」計算的分割；
（2）依「面積等分」為要求的分割；
ⅱ、將原圖形等面積地變化成新圖形的「剪與拼」。
一、圖形的分割
1、借助於「邊、角」計算的分割
例1 （1）已知中，，請畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角形。
（2）已知中，是其最小的內角，過頂點b的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形，請探求與之間的關係。
【觀察與思考】對於（1）只需「構造等角」；對於（2）， （1）
可從「等邊」推演角之間的關係。
解：（1）如圖①，圖②，有兩種不同的分割法。
（2）設， ，過頂點b的直線 ①
交邊ac於d。在等腰三角形中，
①若是頂角，如圖③，則，
。 ②
此時只能有，即，
，即與的關係是：
。②若是底角，則有兩種情況。 ③
第一種情況：如圖④，當時，則，
中，。ⅰ、由，得，此時有，即有關係。 ④
ⅱ、由，得，此時，
即。ⅲ、由，得，此時，
即，為小於45°的任意銳角。 ⑤
第二種情況，如圖⑤，當時，，
此時只能有，
從而，這與題設是最小角矛盾。
當是底角時，不成立。
【說明】本題是通過特定的分割推導角之間的特殊關係。
例2 如圖（1），在和中，，。
（1）判斷這兩個三角形是否相似？並說明為什麼？
（2）能否分別過在這兩個三角形中各作一條輔助線，使分割成的兩個三角形與
分割成的兩個三角形分別對應相似？證明你的結論。
（1）【觀察與思考】對於（1），只需算出即可。
對於（2），可沿著「若有兩個角對應相等，則兩三角形相似」去作適當的輔助線。
解：（1）不相似。中；
在中，，
。， 與不相似。
（2）能分割成兩個分別相似的三角形，作如圖（1`）所示的輔助線進行分割。
具體操作：作，交bc於；作，交於。
由作法和已知條件可知。
，，，，
。，。 （1`）
∽。【說明】本題是從構造等角出發構造相似三角形，這一方法被普遍採用。
例3 現有一張長和寬之比為2：1的長方形紙片，將它折兩次（第一次折後也可開啟鋪平再折第二次），使得摺痕將紙片分為面積相等且不重疊的四個部分（稱為乙個操作）。如圖甲（虛線表示摺痕）。
除圖甲外，請你再給出三個不同的操作（規定：乙個操作得到的四個圖形，和另乙個操作得到的四個圖形，如果能夠「配對」得到四組全等的圖形，那麼就認為是相同的操作。如圖乙和圖甲是相同的操作）。
（甲） （乙）
解：答案例舉如下：
【說明】由本題的解法可以看出：要得到面積相等的圖形，一可以構造「全等圖形」，二可以由面積公式出發。
例4 如圖（1）所示的形鐵皮，工人師傅想用一條直線將其分成面積相等的兩部分。請你幫工人師傅設計三種不同的分割方案（畫出示意圖）。
【觀察與思考】形鐵皮可以看成由兩個正方形相割而成，又
可以看成由乙個矩形和乙個正方形拼合而成，應充分利用正方 （1）
形的軸對稱性和矩形與正方形的中心對稱性，因為「軸對稱」
和「中心對稱」的兩個圖形面積都是相等的。
解：如圖（1），（2），（3）。
（1） （2）
（3）【說明】在本題，恰當地運用了基本圖形的軸對稱性質和中心對稱性質。
例5 我們能把平分四邊形面積的直線稱為「好線」，利用下面的作圖，可以得到四邊形的「好線」：在四邊形中，取對角線的中點，鏈結，顯然，折線能把四邊形的面積平分，再過點作，交於，則直線即為一條「好線」。（如圖（1）
（1）試證明：確為一條「好線」；
（2）如圖（2），若為四邊形的一條「好線」，為上一點，請作出過的一條「好線」，並說明理由。
（1） （2）
【觀察與思考】對於（1），只需證明即可，而這由很多容易得到。
對於（2），其原理與的作法相同。
解：（1）證明：是對角線的中點，
。。 （2`）
。是「好線」。
（2）這樣作：鏈結，作，交於。如圖（2`），則直線為「好線」。理由如下 ：。。
【說明】在本題，主要借助了「等底等高的三角形面積相等」，這是對圖形進行「等面積變形」的重要而常用的手段。
二、將原圖形剪拼成新圖形
例1 下列各圖中，沿著虛線將正方形剪成兩部分，那麼由這兩部分既能拼成平行四邊形，又能拼成三角形和梯形的是（ ）
中點） （中點）
a b c d
【觀察與思考】圖b中的兩部分可拼成：
平行四邊形三角形梯形
解：應選b。
【說明】思考中可借助圖形的「平移」、「旋轉」，以及它們的結合。
例2 如圖（1），現有兩個邊長之比為1：2的正方形與，已知點在同一直線上，且點重合，請你利用這兩個正方形，通過裁割、平移、旋轉的方法，拼出兩個相似比為1；3的三角形。
【觀察與思考】已知的兩個正方形邊長之比為1：2，不妨設它們的邊長為
和，則其面積就分別為和，而若剪拼成的兩個三角形的相似
比為1：3，則它們的面積比就是1：9，即分別為和。 （1）
這樣促使我們想到對原圖形作如圖（1`）的裁割，其中每乙個
小三角形的面積都為，這樣就有以下的解：
解：設的中點為，沿將原圖裁割，並將繞點順時針旋轉180°至，則得到等腰直角三角形和等腰直角三角形，如圖（1``），顯然，∽，且有。
（1`） （1``）
【說明】因為剪拼前後保持面積不變，所以許多剪拼問題的思考解決都可如本題以面積作為過渡的橋梁。
例3 請閱讀下列材料：
問題：現有5個邊長為1的正方形，排列形式如圖（1），請把它們分割後拼接成乙個新的正方形。要求：
畫出分割線並在正方形網格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫出拼接成的新正方形。
（1） （2）
（4）（3） （5）
小東同學的做法是：設新正方形的邊長為。依題意，割補前後圖形的面積相等，有，解得。
由此可知新正方形的邊長等於兩個正方形組成的矩形對角線的長。於是，畫出如圖（3）所示的新正方形。
請你參考小東同學的做法，解決如下問題：
現有10個邊長為1的正方形，排列形式如圖（4），請把它們分割後拼接成乙個新的正方形。要求：在圖（4）中畫出分割線，並在圖（5）的正方形網格圖（圖中每個小正方形的邊均為1）中用實線畫出拼接成的新正方形。
【觀察與思考】設新正方形的邊長為，則，可知，邊長應等於三個小正方形並在一起的所成矩形的對角線。因此有以下的解：
解：所畫圖形如圖（4`）和圖（5`）所示。
（5`）
（4`）
【說明】本題進一步說明，剪拼型的圖形操作問題，常以面積做為解法思考的依據。
例4 在圖（1）至（5）中，正方形的邊長為，等腰直角三角形的斜邊，且邊和在同一直線上。
操作示例
當時，如圖（1），在上選取點g，使，鏈結和，裁掉和並分別拼接到和的位置構成四邊形。
思考發現
小明在操作後發現：該剪拼方法就是先將繞點f逆時針旋轉
90°到的位置，易知eh與在同一直線上。鏈結ch，由
剪拼方法可得，故，從而又可將
繞點c順時針旋轉90°到的位置。這樣，對於剪拼得到的四
邊形（如圖（1），過點f作於點m（圖略），利用
公理可判斷，易得， （1）
，進而根據正方形的判定方法，可以判斷出四邊形
是正方形。
（23） （4）
實踐**
（1）正方形的面積是用含的式子表示）
（2）模擬圖（1）的剪拼方法，請你就圖（2）至（4）的三種情形分別畫出剪拼在成乙個正方形的示意圖。
聯想拓展小明通過**後發現：當時，此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點g的位置在方向上隨著的增大而不斷上移。
當時，如圖（5）的圖形能否剪能乙個正方形？若能，請你在圖中畫出剪拼的示意圖；若不能，簡要說明理由。
【觀察與思考】在所給的圖形中（1），（2），（3），（4），（5），均有正方形
的邊長為，等腰直角的斜邊邊區長為，因此，二者
面積分別是和。由它們剪拼成的新正方形的面積應為+，
即其邊長應為，以此特徵去設計剪拼即可5）
解：實踐**（1）+；
（2）剪拼方法如圖（2`）~ 圖（4`）圖（2`）~ 圖（3`）中截，
就有。聯想拓展出能：剪拼方法如圖（5`）（圖中）。
（2`） （3`） （4`）
（5`）
【說明】本題的核心都是面積為的等腰直角三角形和面積為的正方形剪拼成乙個大正方形，大正方形邊長易知，相應剪拼方法也隨之可得。
例5 藍天希望學校正準備建乙個多**教室，計畫做長120，寬30的長條形桌面，現只有長80，寬45的木板，請你為該校設計不同的拼接方案，使拼起來的桌面符合要求。（只要求畫出裁剪，拼接圖形，並標上尺寸。）
【觀察與思考】桌面面積為，而每塊木板面積為，二者是相等的，另外，考慮截下兩塊的兩塊木板的位置搭配，就有
（1） （2）
解：圖形的剪拼問題，應注意以下幾下方面的思考途徑和解決方法：
1、考慮圖形的變換性質和如何利用變換；
2、考慮相似三角形面積比與相似比的關係；
3、考慮「勾股定理」對應的圖形面積關係；
4、考慮特定數量的構成形式。
練習題1、（1）已知：如圖（1），在中，，直線平分交ac於點d。
求證：與都是等腰三角形。
（1） （2） （3）
（2）在證明了該命題後，小穎發現：下列兩個等腰三角形如圖（2）、（3）也具有這種特性。請你在圖（2）、（3）中分別畫出一條直線，把他們分成兩個小等腰三角形並在圖中標出所畫等腰三角形兩個底角的度數；
（3）接著，小穎又發現：直角三角形和一些非等腰三角形也具有這樣的特性，如：直角三角形斜邊上的中線可把它分成兩個小等腰三角形。
請你畫出兩個具有這種特性的三角形的示意圖，並在圖中標出三角形各內角的度數。
說明：要求畫出的兩個三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形。
2、如果要把正三角形的面積四等分，我們可以先鏈結正三角形的中心和各頂點（如圖（1），這些線段將這個正三角形分成了三個全等的等腰三角形）；再把所得的每個等腰三角形的底邊四等分，鏈結中心和各邊等分點（如圖（2），這些線段把這個正三角形分成了12個面積相等的小三角形）；最後，依次把相鄰的三個小三角形拼合在一起（如圖（3），這樣就能把正三角形的面積四等分）。
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