五年級奧數：數的整除性(b)
年級班姓名得分
一、填空題
1. 乙個六位數23□56□是88的倍數,這個數除以88所得的商是_____或_____.
2. 123456789□□,這個十一位數能被36整除,那麼這個數的個位上的數最小是_____.
3. 下面乙個1983位數33…3□44…4中間漏寫了乙個數字(方框),已知這
991個 991個
個多位數被7整除，那麼中間方框內的數字是_____.
4. 有三個連續的兩位數,它們的和也是兩位數,並且是11的倍數.這三個數是_____.
5. 有這樣的兩位數,它的兩個數字之和能被4整除,而且比這個兩位數大1的數,它的兩個數字之和也能被4整除.所有這樣的兩位數的和是____.
6. 乙個小於200的自然數,它的每位數字都是奇數,並且它是兩個兩位數的乘積,那麼這個自然數是_____.
7. 任取乙個四位數乘3456,用a表示其積的各位數字之和,用b表示a的各位數字之和,c表示b的各位數字之和,那麼c是_____.
8. 有0、1、4、7、9五個數字，從中選出四個數字組成不同的四位數，如果把其中能被3整除的四位數從小到大排列起來，第五個數的末位數字是_____.
9. 從0、1、2、4、5、7中，選出四個數，排列成能被2、3、5整除的四位數，其中最大的是_____.
10. 所有數字都是2且能被66……6整除的最小自然數是_____位數.
100個
二、解答題
11. 找出四個互不相同的自然數,使得對於其中任何兩個數,它們的和總可以被它們的差整除,如果要求這四個數中最大的數與最小的數的和盡可能的小,那麼這四個數里中間兩個數的和是多少？
12．只修改21475的某一位數字,就可知使修改後的數能被225整除,怎樣修改？
13．500名士兵排成一列橫隊.第一次從左到右1、2、3、4、5（1至5）名報數；第二次反過來從右到左1、2、3、4、5、6（1至6）報數，既報1又報6的士兵有多少名？
14．試問,能否將由1至100這100個自然數排列在圓周上,使得在任何5個相連的數中,都至少有兩個數可被3整除？如果回答：「可以」，則只要舉出一種排法；如果回答：
「不能」，則需給出說明.
答案1. 2620或2711
乙個數如果是88的倍數,這個數必然既是8的倍數,又是11的倍數.根據8的倍數,它的末三位數肯定也是8的倍數,從而可知這個六位數個位上的數是0或8.而11的倍數奇偶位上數字和的差應是0或11的倍數,從已知的四個數看,這個六位數奇偶位上數字的和是相等的,要使奇偶位上數字和差為0,兩個方框內填入的數字是相同的,因此這個六位數有兩種可能
23 0 56 0 或23 8 56 8
又 23056088=2620
23856888=2711
所以,本題的答案是2620或2711.
2. 0
因為36=94,所以這個十一位數既能被9整除,又能被4整除.因為1+2+…+9=45，由能被9整除的數的特徵，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的數的特徵:
這個數的末尾兩位數是4的倍數,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.這樣,這個十一位數個位上有0,2,6三種可能性.
所以,這個數的個位上的數最小是0.
3. 6
33…3□44…4
991個 991個
=33…310993+3□410990+44…4
990個990個
因為111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要
990個 990個
3□4能被7整除，原數即可被7整除.故得中間方框內的數字是6.
4. 10,11,12或21,22,23或32,33,34.
三個連續的兩位數其和必是3的倍數,已知其和是11的倍數,而3與11互質,所以和是33的倍數,能被33整除的兩位數只有3個,它們是33、66、99.所以有
當和為33時,三個數是10,11,12；
當和為66時,三個數是21,22,23；
當和為99時,三個數是32,33,34.
[注]「三個連續自然數的和必能被3整除」可證明如下：
設三個連續自然數為n,n+1,n+2,則
n+(n+1)+(n+2)
=3n+3
=3(n+1)
所以，能被3整除.
5. 118
符合條件的兩位數的兩個數字之和能被4整除,而且比這個兩位數大1的數,如果十位數不變,則個位增加1,其和便不能整除4,因此個位數一定是9,這種兩位數有:39、79.
所以,所求的和是39+79=118.
6． 195
因為這個數可以分解為兩個兩位數的積，而且1515=225>200,所以其中至少有1個因數小於15,而且這些因數均需是奇數,但11不可能符合條件,因為對於小於200的自然數凡11的倍數,具有隔位數字之和相等的特點,個位百位若是奇數,十位必是偶數.所以只需檢查13的倍數中小於200的三位數1313=169不合要求,1315=195適合要求.所以,答案應是195.
7. 9
根據題意,兩個四位數相乘其積的位數是七位數或八位數兩種可能.
因為3456=3849,所以任何乙個四位數乘3456,其積一定能被9整除,根據能被9整除的數的特徵,可知其積的各位數字之和a也能被9整除,所以a有以下八種可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.從而a的各位數字之和b總是9,b的各位數字之和c也總是9.
8. 9
∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴從中去掉0或9選出的兩組四個數字組成的四位數能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9兩種選擇組成四位數,由小到大排列為:1047,1074,1407,1470,1479,1497….
所以第五個數的末位數字是9.
9. 7410
根據能被2、3、5、整除的數的特徵，這個四位數的個位必須是0，而十位、百位、千位上數字的和是3的倍數。
為了使這個四位數盡可能最大，千位上的數字應從所給的6個數字中挑選最大的乙個.從7開始試驗,7+4+1=12,其和是3的倍數,因此其中最大的數是7410.
10. 300
∵66…6=2311…1
100個 100個
顯然連續的2能被2整除,而要被3整除,2的個數必須是3的倍數,又要被11…1整除,2的個數必須是100的倍數,所以,最少要有300個連續的2方能滿
100個
足題中要求.答案應填300.
11. 如果最小的數是1,則和1一起能符合「和被差整除」這一要求的數只有2和3兩數，因此最小的數必須大於或等於2.我們先考察2、3、4、5這四個數,仍不符合要求,因為5+2=7,不能被5-2=3整除.
再往下就是2、3、4、6,經試算,這四個數符合要求.所以,本題的答案是(3+4)=7.
12. 因為225=259,要使修改後的數能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成問題,末兩位數75不必修改,只要看前三個數字即可,根據某數的各位數字之和是9的倍數,則這個數能被9整除的特徵,因為2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不難排出以下四種改法:把1改為0；把4改為3；把1改為9；把2改為1.
13. 若將這500名士兵從右到左依次編號,則第一次報數時,編號能被5整除的士兵報1；第二次報數時，編號能被6整除的士兵報6，所以既報1又報6的士兵的編號既能被5整除又能被6整除，即能被30整除，在1至500這500個自然數中能被30整除的數共有16個，所以既報1又報6的士兵共有16名.
14. 不能.
假設能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個數,我們來按所排列順序將它們每5個分為一組,可得20組,其中每兩組都沒有共同的數,於是,在每一組的5個數中都至少有兩個數是3 的倍數.從而一共有不少於40個數是3 的倍數.但事實上,在1至100的自然數中有33個數是3的倍數,導致矛盾.
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