2018中考數學試題分類彙編：考點38 二次函式
一．選擇題（共33小題）
1．（2018青島）已知一次函式y=x+c的圖象如圖，則二次函式y=ax2+bx+c在平面直角座標系中的圖象可能是（ ）
a． b． c． d．
【分析】根據一次函式圖象經過的象限，即可得出＜0、c＞0，由此即可得出：二次函式y=ax2+bx+c的圖象對稱軸x=﹣＞0，與y軸的交點在y軸負正半軸，再對照四個選項中的圖象即可得出結論．
【解答】解：觀察函式圖象可知：＜0、c＞0，
∴二次函式y=ax2+bx+c的圖象對稱軸x=﹣＞0，與y軸的交點在y軸負正半軸．
故選：a．
2．（2018德州）如圖，函式y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常數，且a≠0）在同一平面直角座標系的圖象可能是（ ）
a． b． c． d．
【分析】可先根據一次函式的圖象判斷a的符號，再判斷二次函式圖象與實際是否相符，判斷正誤即可．
【解答】解：a、由一次函式y=ax﹣a的圖象可得：a＜0，此時二次函式y=ax2﹣2x+1的圖象應該開口向下，故選項錯誤；
b、由一次函式y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函式y=ax2﹣2x+1的圖象應該開口向上，對稱軸x=﹣＞0，故選項正確；
c、由一次函式y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函式y=ax2﹣2x+1的圖象應該開口向上，對稱軸x=﹣＞0，和x軸的正半軸相交，故選項錯誤；
d、由一次函式y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函式y=ax2﹣2x+1的圖象應該開口向上，故選項錯誤．
故選：b．
3．（2018臨安區）拋物線y=3（x﹣1）2+1的頂點座標是（ ）
a．（1，1） b．（﹣1，1） c．（﹣1，﹣1） d．（1，﹣1）
【分析】已知拋物線頂點式y=a（x﹣h）2+k，頂點座標是（h，k）．
【解答】解：∵拋物線y=3（x﹣1）2+1是頂點式，
∴頂點座標是（1，1）．故選a．
4．（2018上海）下列對二次函式y=x2﹣x的圖象的描述，正確的是（ ）
a．開口向下 b．對稱軸是y軸
c．經過原點 d．在對稱軸右側部分是下降的
【分析】a、由a=1＞0，可得出拋物線開口向上，選項a不正確；
b、根據二次函式的性質可得出拋物線的對稱軸為直線x=，選項b不正確；
c、代入x=0求出y值，由此可得出拋物線經過原點，選項c正確；
d、由a=1＞0及拋物線對稱軸為直線x=，利用二次函式的性質，可得出當x＞時，y隨x值的增大而減小，選的d不正確．
綜上即可得出結論．
【解答】解：a、∵a=1＞0，
∴拋物線開口向上，選項a不正確；
b、∵﹣=，
∴拋物線的對稱軸為直線x=，選項b不正確；
c、當x=0時，y=x2﹣x=0，
∴拋物線經過原點，選項c正確；
d、∵a＞0，拋物線的對稱軸為直線x=，
∴當x＞時，y隨x值的增大而減小，選的d不正確．
故選：c．
5．（2018瀘州）已知二次函式y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自變數），當x≥2時，y隨x的增大而增大，且﹣2≤x≤1時，y的最大值為9，則a的值為（ ）
a．1或﹣2 b．或 c． d．1
【分析】先求出二次函式的對稱軸，再根據二次函式的增減性得出拋物線開口向上a＞0，然後由﹣2≤x≤1時，y的最大值為9，可得x=1時，y=9，即可求出a．
【解答】解：∵二次函式y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自變數），
∴對稱軸是直線x=﹣=﹣1，
∵當x≥2時，y隨x的增大而增大，
∴a＞0，
∵﹣2≤x≤1時，y的最大值為9，
∴x=1時，y=a+2a+3a2+3=9，
∴3a2+3a﹣6=0，
∴a=1，或a=﹣2（不合題意捨去）．
故選：d．
6．（2018岳陽）拋物線y=3（x﹣2）2+5的頂點座標是（ ）
a．（﹣2，5） b．（﹣2，﹣5） c．（2，5） d．（2，﹣5）
【分析】根據二次函式的性質y=a（x+h）2+k的頂點座標是（﹣h，k）即可求解．
【解答】解：拋物線y=3（x﹣2）2+5的頂點座標為（2，5），
故選：c．
7．（2018遂寧）已知二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則以下結論同時成立的是（ ）
a． b．
c． d．
【分析】利用拋物線開口方向得到a＞0，利用拋物線的對稱軸在直線x=1的右側得到b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，利用拋物線與y軸交點在x軸下方得到c＜0，也可判斷abc＞0，利用拋物線與x軸有2個交點可判斷b2﹣4ac＞0，利用x=1可判斷a+b+c＜0，利用上述結論可對各選項進行判斷．
【解答】解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線的對稱軸在直線x=1的右側，
∴x=﹣＞1，
∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，
∵拋物線與y軸交點在x軸下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∵拋物線與x軸有2個交點，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∵x=1時，y＜0，
∴a+b+c＜0．
故選：c．
8．（2018濱州）如圖，若二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為x=1，與y軸交於點c，與x軸交於點a、點b（﹣1，0），則
①二次函式的最大值為a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④當y＞0時，﹣1＜x＜3，其中正確的個數是（ ）
a．1 b．2 c．3 d．4
【分析】直接利用二次函式的開口方向以及圖象與x軸的交點，進而分別分析得出答案．
【解答】解：①∵二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為x=1，且開口向下，
∴x=1時，y=a+b+c，即二次函式的最大值為a+b+c，故①正確；
②當x=﹣1時，a﹣b+c=0，故②錯誤；
③圖象與x軸有2個交點，故b2﹣4ac＞0，故③錯誤；
④∵圖象的對稱軸為x=1，與x軸交於點a、點b（﹣1，0），
∴a（3，0），
故當y＞0時，﹣1＜x＜3，故④正確．
故選：b．
9．（2018**）如圖是二次函式y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點a在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是x=1．對於下列說法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m為實數）；⑤當﹣1＜x＜3時，y＞0，其中正確的是（ ）
a．①②④ b．①②⑤ c．②③④ d．③④⑤
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關係，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關係，然後根據對稱軸判定b與0的關係以及2a+b=0；當x=﹣1時，y=a﹣b+c；然後由圖象確定當x取何值時，y＞0．
【解答】解：①∵對稱軸在y軸右側，
∴a、b異號，
∴ab＜0，故正確；
②∵對稱軸x=﹣=1，
∴2a+b=0；故正確；
③∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∵當x=﹣1時，y=a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故錯誤；
④根據圖示知，當m=1時，有最大值；
當m≠1時，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m為實數）．
故正確．
⑤如圖，當﹣1＜x＜3時，y不只是大於0．
故錯誤．
故選：a．
10．（2018達州）如圖，二次函式y=ax2+bx+c的圖象與x軸交於點a（﹣1，0），與y軸的交點b在（0，2）與（0，3）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=2．
下列結論：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若點m（，y1），點n（，y2）是函式圖象上的兩點，則y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．
其中正確結論有（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
【分析】根據二次函式的圖象與係數的關係即可求出答案．
【解答】解：①由開口可知：a＜0，
∴對稱軸x=＞0，
∴b＞0，
由拋物線與y軸的交點可知：c＞0，
∴abc＜0，故①正確；
②∵拋物線與x軸交於點a（﹣1，0），
對稱軸為x=2，
∴拋物線與x軸的另外乙個交點為（5，0），
∴x=3時，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②正確；
③由於＜2，
且（，y2）關於直線x=2的對稱點的座標為（，y2），
∵，∴y1＜y2，故③正確，
④∵=2，
∴b=﹣4a，
∵x=﹣1，y=0，
∴a﹣b+c=0，
∴c=﹣5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜﹣5a＜3，
∴﹣＜a＜﹣，故④正確
故選：d．
11．（2018恩施州）拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1，部分圖象如圖所示，下列判斷中：
①abc＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③9a﹣3b+c=0；
④若點（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在拋物線上，則y1＞y2；
⑤5a﹣2b+c＜0．
其中正確的個數有（ ）
a．2 b．3 c．4 d．5
【分析】根據二次函式的性質一一判斷即可．
【解答】解：∵拋物線對稱軸x=﹣1，經過（1，0），
∴﹣=﹣1，a+b+c=0，
∴b=2a，c=﹣3a，
∵a＞0，
∴b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①錯誤，
∵拋物線與x軸有交點，
∴b2﹣4ac＞0，故②正確，
∵拋物線與x軸交於（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c=0，故③正確，
∵點（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在拋物線上，
﹣1.5＞﹣2，
則y1＜y2；故④錯誤，
∵5a﹣2b+c=5a﹣4a﹣3a=﹣2a＜0，故⑤正確，
故選：b．
12．（2018衡陽）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交於點a（﹣1，0），頂點座標（1，n）與y軸的交點在（0，2），（0，3）之間（包含端點），則下列結論：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③對於任意實數m，a+b≥am2+bm總成立；④關於x的方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個不相等的實數根．其中結論正確的個數為（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
【分析】利用拋物線開口方向得到a＜0，再由拋物線的對稱軸方程得到b=﹣2a，則3a+b=a，於是可對①進行判斷；利用2≤c≤3和c=﹣3a可對②進行判斷；利用二次函式的性質可對③進行判斷；根據拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n﹣1有兩個交點可對④進行判斷．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
而拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，即b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，所以①正確；
∵2≤c≤3，
而c=﹣3a，
∴2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，所以②正確；
∵拋物線的頂點座標（1，n），
∴x=1時，二次函式值有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正確；
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