尺規作圖
一．選擇題
1.（2013四川遂寧，10，4分）如圖，在△abc中，∠c=90°，∠b=30°，以a為圓心，任意長為半徑畫弧分別交ab、ac於點m和n，再分別以m、n為圓心，大於mn的長為半徑畫弧，兩弧交於點p，鏈結ap並延長交bc於點d，則下列說法中正確的個數是（ ）
①ad是∠bac的平分線；②∠adc=60°；③點d在ab的中垂線上；④s△dac：s△abc=1：3．
2．（2013湖北省咸寧市，1，3分）如圖，在平面直角座標系中，以o為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸於點m，交y軸於點n，再分別以點m、n為圓心，大於mn的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交於點p．若點p的座標為（2a，b+1），則a與b的數量關係為（ ）
. 3（2013福建福州，8，4分）如圖，已知△abc，以點b為圓心，ac長為半徑畫弧；以點c為圓心，ab長為半徑畫弧，兩弧交於點d，且點a，點d在bc異側，鏈結ad，量一量線段ad的長，約為（ ）
a．2.5cm
b．3.0cm
c．3.5cm
d．4.0cm
【答案】b
【解析】首先根據題意畫出圖形，由「兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形」，可知四邊形abcd是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質對角線相等，得出ad＝bc．最後利用刻度尺進行測量即可．
【方法指導】此題主要考查了複雜作圖以及平行四邊形的判定和性質，關鍵是正確理解題意，畫出圖形．
二．填空題
三．解答題
1．（2013**，21，8分）兩個城鎮a、b與兩條公路l1、l2位置如圖所示，電信部門需在c處修建一座訊號反射塔，要求發射塔到兩個城鎮a、b的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，那麼點c應選在何處？請在圖中，用尺規作圖找出所有符合條件的點c．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）
2．（2013蘭州，22，8分）如圖，兩條公路oa和ob相交於o點，在∠aob的內部有工廠c和d，現要修建乙個貨站p，使貨站p到兩條公路oa、ob的距離相等，且到兩工廠c、d的距離相等，用尺規作出貨站p的位置．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結論）
考點：作圖—應用與設計作圖．
分析：根據點p到∠aob兩邊距離相等，到點c、d的距離也相等，點p既在∠aob的角平分線上，又在cd垂直平分線上，即∠aob的角平分線和cd垂直平分線的交點處即為點p．
解答：解：如圖所示：作cd的垂直平分線，∠aob的角平分線的交點p即為所求．
點評：此題主要考查了線段的垂直平分線和角平分線的作法．這些基本作圖要熟練掌握，注意保留作圖痕跡．
3．（2013貴州省六盤水，24，10分）（1）觀察發現
如圖（1）：若點a、b在直線m同側，在直線m上找一點p，使ap+bp的值最小，做法如下：
作點b關於直線m的對稱點b′，連線ab′，與直線m的交點就是所求的點p，線段ab′的長度即為ap+bp的最小值．
如圖（2）：在等邊三角形abc中，ab=2，點e是ab的中點，ad是高，在ad上找一點p，使bp+pe的值最小，做法如下：
作點b關於ad的對稱點，恰好與點c重合，連線ce交ad於一點，則這點就是所求的點p，故bp+pe的最小值為 ．
（2）實踐運用
如圖（3）：已知⊙o的直徑cd為2，的度數為60°，點b是的中點，在直徑cd上作出點p，使bp+ap的值最小，則bp+ap的值最小，則bp+ap的最小值為 ．
（3）拓展延伸
如圖（4）：點p是四邊形abcd內一點，分別在邊ab、bc上作出點m，點n，使pm+pn的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法．
4. （2013湖北宜昌，18，7分）如圖，點e，f分別是銳角∠a兩邊上的點，ae=af，分別以點e，f為圓心，以ae的長為半徑畫弧，兩弧相交於點d，連線de，df．
（1）請你判斷所畫四邊形的性狀，並說明理由；
（2）連線ef，若ae=8厘公尺，∠a=60°，求線段ef的長．
5．（2013·鞍山，21，6分）如圖，已知線段a及∠o，只用直尺和圓規，求做△abc，使bc＝a，∠b＝∠o，∠c＝2∠b（在指定作圖區域作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
考點：作圖—複雜作圖．
分析：先作乙個角等於已知角，即∠mbn＝∠o，在邊bn上擷取bc＝a，以射線cb為一邊，c為頂點，作∠pcb＝2∠o，cp交bm於點a，△abc即為所求．
解答：解：如圖所示：．
點評：本題主要考查了基本作圖，關鍵是掌握作乙個角等於已知角的基本作圖方法．
6. （2013杭州8分）如圖，四邊形abcd是矩形，用直尺和圓規作出∠a的平分線與bc邊的垂直平分線的交點q（不寫作法，保留作圖痕跡）．鏈結qd，在新圖形中，你發現了什麼？請寫出一條．
【思路分析】根據角平分線的作法以及線段垂直平分線的作法得出q點位置，進而利用垂直平分線的作法得出答案即可．
【解析】如圖所示：發現：dq=aq或者∠qad=∠qda等等．
【方法指導】此題主要考查了複雜作圖以及線段垂直平分線的作法和性質等知識，熟練應用其性質得出系等量關係是解題關鍵．
2. 2013嘉興12分）小明在做課本「目標與評定」中的一道題：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫板外面去了，你有什麼辦法量出這兩條直線所成的角的度數？
小明的做法是：如圖2，畫pc∥a，量出直線b與pc的夾角度數，即直線a，b所成角的度數．
（1）請寫出這種做法的理由；
（2）小明在此基礎上又進行了如下操作和**（如圖3）：①以p為圓心，任意長為半徑畫圓弧，分別交直線b，pc於點a，d；②鏈結ad並延長交直線a於點b，請寫出圖3中所有與∠pab相等的角，並說明理由；
（3）請在圖3畫板內作出「直線a，b所成的跑到畫板外面去的角」的平分線（畫板內的部分），只要求作出圖形，並保留作圖痕跡．
【思路分析】1）根據平行線的性質得出即可；
（2）根據題意，有3個角與∠pab相等．由等腰三角形的性質，可知∠pab=∠pda；又對頂角相等，可知∠bdc=∠pda；由平行線性質，可知∠pda=∠1．因此∠pab=∠pda=∠bdc=∠1；
（3）作出線段ab的垂直平分線ef，由等腰三角形的性質可知，ef是頂角的平分線，故ef即為所求作的圖形．
【解析】（1）pc∥a（兩直線平行，同位角相等）；
（2）∠pab=∠pda=∠bdc=∠1，
如圖，∵pa=pd，
∴∠pab=∠pda，
∵∠bdc=∠pda（對頂角相等），
又∵pc∥a，
∴∠pda=∠1，
∴∠pab=∠pda=∠bdc=∠1；
（3）如圖，作線段ab的垂直平分線ef，則ef是所求作的圖形．
【方法指導】本題涉及到的幾何基本作圖包括：（1）過直線外一點作直線的平行線，（2）作線段的垂直平分線；涉及到的考點包括：（1）平行線的性質，（2）等腰三角形的性質，（3）對頂角的性質，（4）垂直平分線的性質等．本題借助實際問題場景考查了學生的幾何基本作圖能力，是一道好題．題目篇幅較長，需要仔細閱讀，理解題意，正確作答．
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