方案設計
一．解答題
1．（2013東營，22，10分）在東營市中小學標準化建設工程中，某學校計畫購進一批電腦和電子白板，經過市場考察得知，購買1臺電腦和2臺電子白板需要3．5萬元，購買2臺電腦和1臺電子白板需要2．5萬元．
（1）求每台電腦、每台電子白板各多少萬元?
（2）根據學校實際，需購進電腦和電子白板共30臺，總費用不超過30萬元，但不低於28萬元，請你通過計算求出有幾種購買方案，哪種方案費用最低．
分析：（1）設電腦、電子白板的**分別為x，y元，根據等量關係：1臺電腦+2臺電子白板凳3．5萬元，2臺電腦+1臺電子白板凳2．5萬元，列方程組即可．
（2）設購進電腦x臺，電子白板有(30－x)臺，然後根據題目中的不等關係列不等式組解答．
解：（1）設每台電腦x萬元，每台電子白板y萬元，根據題意得：
3分解得4分
答：每台電腦0．5萬元，每台電子白板1．5萬元5分
（2）設需購進電腦a臺，則購進電子白板（30－a）臺，
則6分解得：，即a=15，16，177分
故共有三種方案：
方案一：購進電腦15臺，電子白板15臺．總費用為萬元；
方案二：購進電腦16臺，電子白板14臺．總費用為萬元；
方案三：購進電腦17臺，電子白板13臺．總費用為萬元；
所以，方案三費用最低10分
點撥：（1）列方程組或不等式組解應用題的關鍵是找出題目中存在的等量關係或不等關係。（2）設計方案題一般是根據題意列出不等式組，求不等式組的整數解。
2．（2013·濰坊，20，10分）為增強市民的節能意識，我市試行階梯電價．從2023年開始，按照每戶每年的用電量分三個檔次計費，具體規定見下圖．
小明統計了自己2023年前5個月的實際用電量為1300度，請幫助小明分析下面問題．
（1）若小明家計畫2023年全年的用電量不超過2520 度，則6至12月份小明家平均每月用電量最多為多少度？（保留整數）
（2）若小明家2023年6月至12月份平均每月用電量等於前5個月的平均每月用電量，則小明家2023年應交總電費多少元？
答案：（1）設小明家6月至12月份平均每月用電量為x度，根據題意的：
1300＋7x≤2520，解得x≤≈174．3
所以小明家6至12月份平均每月用電量最多為174度．
（2）小明家前5個月平均每月用電量為1300÷5＝260（度）．
全年用電量為260×12＝3120（度）．
因為2520＜3120＜4800．
所以總電費為2520×0．55＋（3120－2520）×0．6＝1386＋360＝1746（元）．
所以小明家2023年應交總電費為1746元．
考點：不等式的應用與分段計費問題
點評：根據題意弄清關係，列出不等式，求出整數解是解第一小題的關鍵．解決第二小題則需要找出正確的計量電費的檔位，分段算出全年應繳總電費．
3.（2013四川綿陽，23，12分）
「低碳生活，綠色出行」，自行車正逐漸成為人們喜愛的交通工具。某運動**的自行車銷售量自2023年起逐月增加，據統計，該**1月份銷售自行車64輛，3月份銷售了100輛。
（1）若該**前4個月的自行車銷量的月平均增長率相同，問該**4月份賣出多少輛自行車？
（2）考慮到自行車需求不斷增加，該**準備投入3萬元再購進一批兩種規格的自行車，已知a型車的進價為500元/輛，售價為700元/輛，b型車進價為1000元/輛，售價為1300元/輛。根據銷售經驗，a型車不少於b型車的2倍，但不超過b型車的2.8倍。
假設所進車輛全部售完，為使利潤最大，該**應如何進貨？
解：（1）設前4個月自行車銷量的月平均增長率為x ,
根據題意列方程：64（1+x）2 =100 ,
解得x=-225%（不合題意，捨去）, x= 25%
100×(1+25%)=125(輛) 答：該**4月份賣出125輛自行車。
（2）設進b型車x輛，則進a型車輛，
根據題意得不等式組 2x≤≤2.8x ，
解得 12.5≤x≤15,自行車輛數為整數，所以13≤x≤15,
銷售利潤w=（700-500）×+（1300-1000）x .
整理得：w=-100x+12000， ∵ w隨著x的增大而減小,
∴ 當x=13時，銷售利潤w有最大值，
此時， =34，
所以該**應進入a型車34輛，b型車13輛。
4.（2013四川遂寧，23，10分）四川省第十二屆運動會將於2023年8月18日在我市隆重開幕，根據大會組委會安排，某校接受了開幕式大型團體操表演任務．為此，學校需要採購一批演出服裝，a、b兩家製衣公司都願成為這批服裝的**商．經了解：兩家公司生產的這款演出服裝的質量和單價都相同，即**每套120元，**每套100元．經洽談協商：
a公司給出的優惠條件是，全部服裝按單價打七折，但校方需承擔2200元的運費；b公司的優惠條件是男**均按每套100元打八折，公司承擔運費．另外根據大會組委會要求，參加演出的女生人數應是男生人數的2倍少100人，如果設參加演出的男生有x人．
（1）分別寫出學校購買a、b兩公司服裝所付的總費用y1（元）和y2（元）與參演男生人數x之間的函式關係式；
（2）問：該學校購買哪家製衣公司的服裝比較合算？請說明理由．
5．(2013湖北荊門，22，10分)為了節約資源，科學指導居民改善居住條件，小王向房管部分提出了乙個購買商品房的政策性方案．
根據這個購房方案：
(1)若某三口之家欲購買120平方公尺的商品房，求其應繳納的房款；
(2)設該家庭購買商品房的人均面積為x平方公尺，繳納房款y萬元，請求出y關於x的函式關係式；
(3)若該家庭購買商品房的人均面積為50平方公尺，繳納房款為y萬元，且57＜y≤60時，求m的取值範圍．
【思路分析】房款＝人均住房面積×家庭人口數×單價．而單價與人均住房面積有關．
【解】解：(1)三口之家應繳購房款為0.3×90＋0.5×30＝42(萬元)．
(2)①當0≤x≤30時，y＝0.3×3x＝0.9x；
②當30＜x≤m時，y＝0.9×30＋0.5×3×(x－30)＝1.5x－18；
③當x＞m時，y＝1.5m－18＋0.7×3×(x－m)＝2.1x－18－0.6m．
y＝ (45≤m≤60)
(3)①當50≤m≤60時，y＝1.5×50－18＝57(捨去)；
②當45≤m＜50時，y＝2.1×50－0.6m－18＝87－0.6m．
∵57＜87－0.6m≤60，∴45≤m＜50．
綜合①、②得45≤m＜50．
【方法指導】此題是分段函式的應用．分段函式應分類討論，注意自變數的取值範圍以及在相應範圍內所對應的函式解析式．
6（2013四川瀘州，21，7分）某中學為提公升學生的課外閱讀能力，拓展學生的知識面，決心打造「書香校園」，計畫用不超過1900本科技類書籍和1620本人文類書籍，組建中、小型兩類圖書角共30個．已知組建乙個中型圖書角需科技類書籍80本，人文類書籍50本；組建乙個小型圖書角需科技類書籍30本，人文類書籍60本．
（1）符合題意的組建方案有幾種？請你幫學校設計出來；
（2）若組建乙個中型圖書角的費用是860元，組建乙個小型圖書角的費用是570元，試說明（1）中哪種方案費用最低，最低費用是多少元？
【答案】解：（1）設組建中型圖書角個，則組建小型圖書角為（30－）個．
由題意得 ，解得．
由於只能取整數，的取值是18，19，20．
當＝18時，30－＝12；
當＝19時，30－＝11；
當＝20時，30－＝10．
故有三種組建方案：
方案一，中型圖書角18個，小型圖書角12個；
方案二，中型圖書角19個，小型圖書角11個；
方案三，中型圖書角20個，小型圖書角10個．
（2）方案一的費用是：86018+57012＝22320（元）；
方案二的費用是：860×19+57011＝22610(元)；
方案三的費用是：86020+57010＝22900（元）．
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