二次函式知識點總結及相關典型題目
第一部分基礎知識
1.定義：一般地，如果是常數，，那麼叫做的二次函式.
2.二次函式的性質
（1）拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.
（2）函式的影象與的符號關係.
①當時拋物線開口向上頂點為其最低點；
②當時拋物線開口向下頂點為其最高點.
（3）頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.
3.二次函式的影象是對稱軸平行於（包括重合）軸的拋物線.
4.二次函式用配方法可化成：的形式，其中.
5.二次函式由特殊到一般，可分為以下幾種形式
6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.
①的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；
相等，拋物線的開口大小、形狀相同.
②平行於軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.
7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函式，如果二次項係數相同，那麼拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.
8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法
（1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.
（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.
（3）運用拋物線的對稱性：由於拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.
9.拋物線中，的作用
（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由於拋物線的對稱軸是直線
，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側.
（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.
當時，，∴拋物線與軸有且只有乙個交點（0，）：
①，拋物線經過原點; ②,與軸交於正半軸；③,與軸交於負半軸.
以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則.
10.幾種特殊的二次函式的影象特徵如下：
11.用待定係數法求二次函式的解析式
（1）一般式：.已知影象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
（2）頂點式：.已知影象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
（3）交點式：已知影象與軸的交點座標、，通常選用交點式：.
12.直線與拋物線的交點
（1）軸與拋物線得交點為(0,).
（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有乙個交點(,).
（3）拋物線與軸的交點
二次函式的影象與軸的兩個交點的橫座標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點拋物線與軸相交；
②有乙個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；
③沒有交點拋物線與軸相離.
（4）平行於軸的直線與拋物線的交點
同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱座標相等，設縱座標為，則橫座標是的兩個實數根.
（5）一次函式的影象與二次函式的影象的交點，由方程組的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; ②方程組只有一組解時與只有乙個交點；③方程組無解時與沒有交點.
（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由於、是方程的兩個根，故
〖考點複習〗
1．二次函式的對稱軸及頂點
[例1] （2004蕪湖）二次函式y=x2-2x+1的對稱軸方程是x=_______.
[例2] （2005溫州）已知拋物線的解析式為y＝(x－2)2＋1，則拋物線的頂點座標是（ ）
a、(－2,1) b、(2，1) c、(2，－1) d、(1，2)
2．二次函式的圖象及性質
[例3] (2004濰坊)已知二次函式的圖象如右圖所示，則a、b、c滿足（ ）
a、a＜0,b＜0,c＞0 b、a＜0,b＜0, c＜0
c、a＜0,b＞0,c＞0 d、 a＞0,b＜0,c＞0
[例4] （2005浙江）二次函式y=x2的圖象向上平移2個單位，得到新的圖象的二次函式表示式是（ ）
a、 b、
c、 d、
[例5] （2004貴陽）已知拋物線的部分圖象（如圖），圖象再次與x軸相交時的座標是（ ）
a、（5，0） b、（6，0）
c、（7，0） d、（8，0）
3．二次函式表示式
[例6] （2005大連）已知二次函式的圖象經過點a（－3，－6），並與x軸交於點b（－1，0）和點c，頂點為p。
（1）求二次函式的解析式；
（2）設點d為線段oc上一點，且∠dpc=∠bac，求點d的座標；
說明：若（2）你經歷反覆探索沒有獲得解題思路，請你在不改變點d的位置的情況下新增乙個條件解答此題，此時（2）最高得分為3分。
[例7]（2005廈門）已知拋物線y＝x2－2x＋m與x軸交於點a（x1，0）、b（x2，0）（x2＞x1），
（1） 若點p（－1，2）在拋物線y＝x2－2x＋m上，求m的值；
（2）若拋物線y＝ax2＋bx＋m與拋物線y＝x2－2x＋m關於y軸對稱，點q1（－2，q1）、q2（－3，q2）都在拋物線y＝ax2＋bx＋m上，則q1、q2的大小關係是
（請將結論寫在橫線上，不要寫解答過程；友情提示：結論要填在答題卡相應的位置上）
（3）設拋物線y＝x2－2x＋m的頂點為m，若△amb是直角三角形，求m的值.
4．二次函式的運用
[例8] （2005南京）27． 在一塊長方形鏡面玻璃的四周鑲上與它的周長相等的邊框，製成一面鏡子。鏡子的長與寬的比是2：1。
已知鏡面玻璃的**是每平方公尺120元，邊框的**是每公尺30元，另外製作這面鏡子還需加工費45元。設製作這面鏡子的總費用是y元，鏡子的寬度是x公尺。
（1）求y與x之間的關係式。
（2）如果製作這面鏡子共花了195元，求這面鏡子的長和寬。
〖考題訓練〗
1．（2005常州）已知拋物線的部分圖象如圖,則拋物線的對稱軸為直線x滿足y＜0的x的取值範圍是 ,
將拋物線向平移個單位,則得到拋物線.
2．（2005四川）用長度一定的繩子圍成乙個矩形，如果矩形的一邊長x（m）與面積y（m滿足函式關係（0＜x＜24＝，則該矩形面積的最大值為_______ m．
3．（2005茂名）下列四個函式：
①② ③
④ 其中，函式y的值隨著x值得增大而減少的是
a、① b、② c、③ d、④
4．（2005棗莊）已知拋物線y=ax2+bx+c經過點a(-2，7)，b(6，7)，c(3，-8)，則該拋物線上縱座標為-8的另一點的座標是
5．（2005資陽）已知二次函式y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，給出以下結論：① a+b+c<0；② a-b+c<0；③ b+2a<0；④ abc>0 . 其中所有正確結論的序號是
a、 ③④ b、②③ c、①④ d、 ①②③
6．（2005上海）在直角座標平面中，o為座標原點，二次函式的圖象與x軸的負半軸相交於點c（如圖5），點c的座標為（0，－3），且bo＝co
（1）求這個二次函式的解析式；
（2）設這個二次函式的圖象的頂點為m，求am的長.
7．（2005無錫）如圖，一次函式的圖象與x軸和y軸分別交於點a（6，0）和b（0，），線段ab的垂直平分線交x軸於點c，交ab於點d.
（1）試確定這個一次函式關係式；
（2）求過a、b、c三點的拋物線的函式關係式.
1. 已知，在同一直角座標系中，函式與的圖象有可能是（）
2.二次函式的圖象如圖所示，則一次函式與反比例函式在同一座標系內的圖象大致為（）
3已知二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖3所示，
下列結論：①abc＞0 ②2a+b＜0 ③4a－2b+c＜0 ④a+c＞0，
其中正確結論的個數為（ ）
a、 4個 b、3個 c、2個 d、1個
4二次函式的圖象關於原點o（0, 0）對稱的圖象的解析式是學科網
5.(本題滿分10分)如圖，拋物線的頂點為a，與y 軸交於點b．
（1）求點a、點b的座標．
（2）若點p是x軸上任意一點，求證：．
（3）當最大時，求點p的座標
解：（1）拋物線與y軸的交於點b，
令x=0得y=2．
∴b（0，2） 1分
∴a（—2，3） 3分
（2）當點p是 ab的延長線與x軸交點時，
． 5分
當點p在x軸上又異於ab的延長線與x軸的交點時，
在點p、a、b構成的三角形中，．
綜合上述： 7分
（3）作直線ab交x軸於點p，由（2）可知：當pa—pb最大時，點p是所求的點 8分
作ah⊥op於h．
∵bo⊥op，
∴△bop∽△ahp
9分由（1）可知：ah=3、oh=2、ob=2，
∴op=4，故p（4，0） 10分
注：求出ab所在直線解析式後再求其與x軸交點p（4，0）等各種方法只要正確也相應給分．
6.（12分）已知二次函式。
（1）求證：不論a為何實數，此函式圖象與x軸總有兩個交點。
（2）設a<0，當此函式圖象與x軸的兩個交點的距離為時，求出此二次函式的解析式。
（3）若此二次函式圖象與x軸交於a、b兩點，在函式圖象上是否存在點p，使得△pab的面積為，若存在求出p點座標，若不存在請說明理由。
解（1）因為△=
所以不論a為何實數，此函式圖象與x軸總有兩個交點。…………（2分）[**:z§xx§
（2）設x1、x2是的兩個根，則，，因兩交點的距離是，所以。…………（4分）
即：[**:學科網zxxk]
變形為5分）
所以：整理得：
解方程得：
又因為：a<0
所以：a=－1
中考數學二次函式知識點
1.定義 一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.2.二次函式的性質 1 拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.2 函式的影象與的符號關係.當時拋物線開口向上頂點為其最低點 當時拋物線開口向下頂點為其最高點.3 頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函式的影象是對稱軸平行於 包括重...
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